Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

241

′′

= −1;

(x)

= −cos x = cos x + 2

(0)

′′′

= 0 ;

(x) = sin x = cos

x +

(0)

……………………..

(n)

(0) = cos n

= cos x + n

Разложение примет вид

cos x =1 −

−... + (−1)

m x2m

+ R .

(2m)!

Остаточный член

x2m+2

cos(θ x +(2m + 2) π ) ≤

2m+2

(2m + 2)!

т. к.

cosα

≤1 и при n → ∞

стремится к нулю независимо от

значения х.

г) Рассмотрим степенную функцию (1 + x)m , где m – любое вещественное число.

Разложим (1 + x)m по степеням х, т. е. в окрестности точки x0 = 0 .

f (x) = (1 + x)m ,					f (1) =1;
′		m−1		,	′
f (x) = m(1+ x)					f	(1) = m ;
′′	m−2		,		f	′′	;
f (x) = m(m −1)(1+ x)						(1) = m(m −1)
……………………..
f (k ) (x) = m(m −1)...(m −k +1)(1+ x)m−k ,
f (k ) (1) = m(m −1)...(m −k +1) .
Разложение примет вид

(1+ x)m =1+	m	x +	m(m −1)	x2 +... +	m(m −1)...(m −n +1)	xn + R ,

1!		2!			n!	n

где Rn = m(m −1)+...(m −n) xn+1 (1+θ x)m−n−1 , 0 <θ <1. (n 1)!

Здесь Rn → 0 с возрастанием n только при x ] −1,1[

т. е. погрешность может быть сколь угодно малой величиной только для значений из указанного интервала.

д) Находим производные и их значения в точке х = 0

′

=1;

1+ x

f (x)

(0)

′′

= − (1+ x)2 , f

−1

;

(x)

(0)

′′′

1 2

′′′

=1 2

= (1+ x)3

;

(x)

(0)

( 4) (x) = −

1 2 3

f ( 4) (0) = −1 2 3 ;

(1+ x)4

……………………..

Подставляя в формулу Маклорена, получим

ln(1+1) = x −

−

+... +(−1)

n−1

+ R ,

где Rn

(−1)n

n+1

n +1

1+θx

Погрешность вычисления логарифма Rn

→ 0 с возраста-

нием n только при x ] −1,1[ , т. е.

в полуоткрытом интервале.

15.2. Разложить многочлен x4 −2x3 + x2 +3x −5 по сте-

пеням двучлена x + 2 .

Решение.

Введем

обозначение

f (x) = x4 −2x3 + x2 +3x −5

и найдем производные:

′

−6x

′′

−12x + 2 ,

f (x)

+ 2x +3 , f (x) =12x

′′′

(4)

(x) = 24 ,

(n)

(x)

= 0 для n ≥ 5 .

(x) = 24x −12 , f

При x = −2 имеем:

242

f (−2) = 25 , f ′(−2) = −57 , f ′′(−2) = 74 , f ′′′(−2) = 36 , f (4) (−2) = 24 .

Отсюда

x4 −2x3 + x2 +3x −5 =

=25 −57(x + 2) +37(x + 2)2 −10(x + 2)3 +(x + 2)4 .

15.3.Пользуясь формулой Тейлора, разложить функцию f (x) = (x3 + 2x −1)2 по степеням x.

Решение. Находим производные и их значения при x = 0

f ' (x) = 2(x3 + 2x −1)(3x2 + 2) , f ' (0) = −4 ;
f '' (x) = 2((3x2 + 2)2 +6x4 +12x2 −6x) ,	f '' (0) = 8	;
f ''' (x) =12(2(3x2 + 2)x + 4x3 + 4x −1) ,	f ''' (0) =12	;
f (4) (x) =12(30x2 +8) , f (4) (0) = 96 ;
f (5) (x) = 720x , f (5) (0) = 0 ;

f (6) (x) = 720 , f (6) (0) = 720 .

Подставляя значение f (0) =1 и значения производных в формулу Тейлора при x = 0 , получим

(x3 + 2x −1)2 =1−4x + 4x2 −2x3 + 4x4 + x6

15.4. Представить функцию 4 x в виде многочлена четверной степени относительно x −1.

Решение. Находим значения функции и ее производных в точке a =1:

1																			4
f (x) = x		;	f (1) =1; f ' (x) =																	1	x−		;			f ' (1) =							1		;
	4																			1		3											1
	4																					3											4
														7					4														4
f '' (x) = −							1			3		x−		7			;		f '' (x) = −						1		3		;
							1			3				4											1		3
														4										4 4
			4 4													11								4 4
f ''' (x) = −					1			3			7		x−			11		;	f ''' (x) =					1		3 7				;
					1			3			7					4								1		3 7
																4
			4 4 4												15									4 4 4
f (4) (x) = −			1	3		7			11			x−			15			;	f (4) (x) = −							1		3			7	11		.
			1	3		7			11						4											1		3			7	11
															4											4 4
			4 4 4 4																							4 4				4 4

243

По формуле (1) имеем

4 x =1+

(x −1)

−

1 3 (x −1)2

1 3 7 (x −1)

1 3 7 11 (x −1)

−

+ R

4 4

f (5) (c)

где

R =

(x −1)

; c =1+θ(x −1) ; 0

<θ <1.

15.5.Написать разложение функции: а) ecos x до члена с

x4 ; б) ln cos x до x6 .

Решение. а) Пользуясь уже известным разложением (15.1. а) и принимая cos x за новую переменную, запишем

e	cos x			=1+cos x +													cos2 x										+				cos3 x									+		cos4 x				+O(cos								4		x) .
e				=1+cos x +															2								+							6						+			24			+O(cos										x) .
																			2															6									24			x2				x4
Так как по формуле (15.1. в) cos x =																																													1−	x2	+			x4			+O(x				5	) , то
Так как по формуле (15.1. в) cos x =																																													1−	2	+		24				+O(x					) , то
окончательно имеем																																														2			24
окончательно имеем																																												2
		cos x											x		2						x	4								1										x	2			2				x	2						4
e		cos x											x								x									1										x								x			x
					=1+ 1−													+									+							1			−								+ 1−											+
					=1+ 1−									2				+		24							+			2				1			−			2					+ 1−		2					24				+
														2						24										2										2							2					24
			1				x	2		3				1									x			2		2					x		4
+			1	1−			x					+		1				1		−			x										x				+
+			6	1−								+		2				1		−												24					+
			6			2								2										2								24
			1						x		2	4															x		2			3				x		4
+			1			1−			x				+ 4 1−														x									x					+O(x5 ) =
+						1−							+ 4 1−																												+O(x5 ) =
			24							2																		2								24
			24							2																		2								24
			1							32x				2					61				x		4					+O(x									5
=					65 −											+																								) .
=			24		65 −											+			6																					) .
			24																6
б) Представим логарифм в виде ln cos x = ln(1+(cos x −1))
и воспользуемся разложением (15.1. д),																																													принимая cos x −1 за
новую переменную																			1																						1
ln cos x = cos x −1−																			1		(cos x −1)2 +																				1			(cos x −1)3 +O(x6 ) .
ln cos x = cos x −1−																			2		(cos x −1)2 +																							(cos x −1)3 +O(x6 ) .
																			2																						2

244

Здесь остаточный член Rn = O(x6 ) , так как бесконечно малые

x и sin x		эквивалентны														и,		следовательно,																	1−cos x = 2sin									2	x
x и sin x		эквивалентны														и,		следовательно,																	1−cos x = 2sin									2
одного порядка с x2 .																																												2
одного порядка с x2 .											1								1										1
		cos x −1 = −									1		x			2 +			1				x4			−			1			x6 +O(x7 ) .
		cos x −1 = −									2		x			2 +		24					x4			−		720				x6 +O(x7 ) .
Отсюда											2							24										720
Отсюда							1					1											1									1 1							1
ln cos x =					−		1	x	2	+		1				x	4	−					1			x		6		−		1 1			x	4		−	1	x	6		+

							2				24										720													4					24
							2				24										720											2		4					24
	1		1			6						6							1					2				1			4			1			6				6
+		−		x			+O(x							)		= −						x			−					x		−			x			+O(x				) .
+	3	−	8	x			+O(x							)		= −			2			x			−		12			x		−	45		x			+O(x				) .
	3		8																2								12						45
15.6. Вычислить с точностью 0,001 приближенные зна-
чения следующих чисел: а) sin 20°; б) cos 45°.
Решение. а) Воспользуемся формулой разложения sin x
по степеням x (15.1,б), подставляя в нее радианную меру
																x =						π				20 = π
																x =				180						20 = π
sin π					π			π3								π5				180											9						x2m−1
			≈		π		−	π3				+				π5				−... +(−1)m−1																	x2m−1						+ R .
			≈		9		−	3!93				+			5!95					−... +(−1)m−1													(2m −1)!92m−1										+ R .
		9			9			3!93							5!95																		(2m −1)!92m−1										n

При определении числа первых членов в данном разложении, необходимых для обеспечения требуемой точности вычислений, оценим величины последовательных остаточных членов

R	≤	π3	≤ 0,006 ,	R	≤	π5	≤ 0,00003 .


1		3!93		2		5!95

Поскольку R2 <10−3 , то для получения требуемой точ-

ности достаточно взять первые два члена разложения, предшествующих R2

sin	π	=	π	−	π3	= 0,3491−0,0071 = 0,342 .
	9		9		3!93

Здесь значение числа π ≈ 3,14159 и результатов промежуточных вычислений взяты с одним лишним знаком, т. е. с точностью до 10−4 .

245

Источник: https://studfile.net/preview/16565748/

Смотрите также:




Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27