Материал: Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

Предложение: a(a > 0 → a > –1) является истинным высказыванием.

7. Квантор существования, примененный к предикату F(x,...) соответствует предложению «существует x, такой, что F(x,...)» («найдется x, для которого F(x,...)») и обозначается:

xF(x,...).

Например, истинное высказывание «существует действительное число, квадрат которого равен 2» записывается фор-

мулой x(x R & x2 = 2). Здесь квантор существования приме-

нен к предикату: F(x)=(x R & x2 = 2) (напомним, что множество всех действительных чисел обозначается через R).

Если квантор применяется к предикату с одной переменной, то получается высказывание, истинное или ложное. Если квантор применяется к предикату с двумя или большим числом переменных, то получается предикат, в котором переменных на одну меньше. Так, если предикат F(x, y) содержит две переменные, то в предикате xF(x, y) одна переменная y (переменная x является «связанной», вместо нее нельзя подставлять значения x). К предикату xF(x, y) можно применить квантор общности или существования по переменной y, тогда полученная формула y xF(x, y) или y xF(x, y) является

высказыванием.

Так, предикат «|sinx| < a» содержит две переменные x, a. Предикат x (|sinx| < a) зависит от одной переменной a, при a =1/ 2 этот предикат обращается в ложное высказывание(|sinx| < 1 / 2 ), при а = 2 получаем истинное высказывание x

(|sinx| < 2).

Если к предикату x (|sinx| < a) применить квантор существования, то получим формулу: a x(| sin x |< a) , выра-

жающую истинное высказывание: «функция sinx является ограниченной».

Для некоторых формул введем сокращенную запись.

Так, вместо формулы x(x R & x2 = 2) будем писать:

x R(x2 = 2),

6

вместо x(x > 0 & x2 + 3 = 4) пишем:

x > 0 (x2 + 3 = 4).

Формулу x (x R → x2 ≥ 0) сократим так:

x R(x2 ≥ 0) и т.д.

Будем называть x R, x > 0 и т.д. ограниченными кванто-

рами.

Несколько кванторов общности (существования) заменяем на один: вместо x y(P(x, y)) пишем x,y(P(x,y)), вместо

x1 M x2 M (Q(x1 , x2 )) будем писать

x1, x2 M (Q(x1, x2 )) .

1.2. Множества

Понятие множества является первоначальным понятием математики, точное определение ему не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание каких-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом. Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконечно много элементов. Рассматривают и множество, не содержащее элементов, его называютпустым иобозначают символом .

В математическом анализе чаще всего рассматриваются числовые множества, за некоторыми из них закреплены специ-

альные обозначения. Так, множество всех натуральных чи-

сел обозначаются через N и записывают так: N = {1,2,3,...}.

Далее, через Z обозначают множество всех целых чисел, со-

держащее как натуральные числа, так и 0, и целые отрицатель-

ные числа; Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Рациональным называется число, которое можно пред-

ставить в виде отношения двух целых чисел: qp (p Z, q N).

Множество всех рациональных чисел обозначается через Q. Символически определение множества рациональных чисел

7

def p

можно записать так: Q = { q | p Z & q Z & q≠0}. Здесь

def

знак = заменяет слово «называется». Заметим, что множество можно задать перечислением элементов, а можно описанием свойств элементов (предикатом), как в последнем случае.

Известно, что любое рациональное число можно представить десятичной дробью, конечной и бесконечной периодической. Например, рациональное число 5/6 представимо бесконечной периодической дробью 5/6 = 0,83333..., а число 3/8 = 0,375. В последнем случае можно считать десятичную дробь тоже бесконечной с числом 0 в периоде: 3/8 = 0,3750000... .

Известно, что всякую периодическую бесконечную дробь можно обратить в обыкновенную дробь p/q.

Иррациональным числом называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь. Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется множеством действительных чисел и обозначается через R. Иными сло-

вами, множество действительных чисел R – это множество всех бесконечных десятичных дробей.

Пусть M1, M2 – некоторые множества. Если каждый элемент множества M1 является элементом множества M2, то говорят, что M1 есть подмножество множества M2 и обозначается M1 M2. Итак, M1 M2 тогда и только тогда, когда

x(x M1 → x M2).

Из определения числовых множеств можно заключить, что N Z, Z Q, Q R. Множество действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных (о которых мы сейчас говорить не будем), т.е. R C.

Часто рассматриваются подмножества действительных чисел (a, b), [a, b], [a, b), (a, b] называемые, соответственно,

интервалом, отрезком, полуинтервалом. Дадим символиче-

ские определения этих множеств, а слово «называется» заме-

def

ним на знак = :

8

Заметим, что на числовой оси каждое действительное число изображается определенной точкой и любая точка числовой оси задает некоторое число, поэтому [a, b] изображает-

a, b.

Объединение A B, пересечение A∩B.

Рассмотрим операции множеств A, B давая им символические определения:

def

A \ B. Таким образом, A \ B = {x| x A & x B }. В частном случае R \ Q есть множество иррациональных чисел.

1.3. Функции

Пусть x, y – переменные величины. Если каждому значению переменных x из множества A соответствует по определенному закону единственное значение переменной y, то говорят, что y является функцией (однозначной) от x и пишут y = f (x) или y = y (x). При этом переменную x называют аргументом или независимой переменной, множество A – областью определения функции y = f (x). Обозначим множество

всех значений функции, т.е. {f (x) | x A}, через B.

Пример 1. Для функции y = x2 −1 область определения A = (–∞, –1] [1, +∞), множество значений B = [0, +∞).

9

Замечание. Иногда рассматривают многозначные функции, допуская, что каждому значению x A, соответствует одно или более одного значений y. Мы в дальнейшем под функцией будем понимать однозначную функцию.

Способы задания функции.

Аналитический способ: связь между аргументом x и функцией y задается формулой, при этом на разных участках области определения она может задаваться различными формулами (см. пример 2) . В примерах 1, 2 функции заданы аналитически.

Табличный способ: функция задается таблицей отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Такими являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д.

Графический способ: в этом случае соответствие между значениями x и y задается с помощью графика.

Среди числовых функций особое место занимают функции с областью определения A = N. Пусть аргумент функции f (x) принимает только значения 1, 2, 3,....n,...

Обозначим f (1) = a1, f (2) = a2, ..., f (n) = an, ... Такую функцию называют последовательностью, a1 – первый член,

..., an – n-й член этой последовательности.

Рассмотрим свойства, которыми могут обладать (или не обладать) некоторые функции.

Функция f (x) называется возрастающей на множестве M (строго), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Символически это может быть записано так:

x1, x2 M (x1 < x2 → f(x1) < f(x2)).

10