Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
9. При каких l и n прямая x −l 7 = y 1−4 = z −n 5 и плоскость
3z − y + 2z − 5 = 0 будут перпендикулярны? При l=5, n=4
найти угол между ними.
10. Прямая α проходит через точку M1(-1; 2; 4), перпендикулярно плоскости 2x + y − 6z +10 = 0 . Прямая β
проходит через точки M1(2; 3; -5) и M2(-4; 0; 3). Найти угол между прямыми α и β.
11. Найти точку M симметричную точке Р(-1; 2; 4) относительно плоскости 3x + 2y + z + 9 = 0 .
236
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приступая к изучению высшей математики, необходимо знать, что математику нельзя изучать пассивно, нужно стараться глубоко вникать в смысл математических понятий и теорем, пытаться самостоятельно решать математические задачи. Результатами изучения курса высшей математики должны быть развитие аналитического мышления, овладение навыками решения математических задач, выработка умения самостоятельно ставить задачи и выбирать или разрабатывать методы их решения.
Материал практикума предоставляет возможность студентам самостоятельно освоить основные положения одного из важнейших разделов в курсе высшей математики – векторной алгебры и аналтической геометрии. Позволяет преобрести и закрепить практические навыки решения простых типовых задач, а также познакомится с методикой использования векторов и матриц к задачам механики и физики. Наиболее эффективный результат может быть достигнут, если использовать пособие, как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной работы.
Несколько слов о том, как работать с этой книгой. Прежде, чем приступать к изучению методов решения задач, необходимо повторить основные определения и теоремы, относящиеся к данному разделу, постараться понять и запомнить наиболее часто используемые формулы. После этого можно переходить к изучению разобранных примеров. Некоторые типовые задачи и методы рассмотрены в пособии, как в общем виде, так и на примерах. Весьма полезно изучить и то и другое. Это поможет вам не только отработать навыки решения задач, но и лучше понять и усвоить теоретический материал.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие для втузов / В.П. Минорский. — М.:
Наука, 1987.
2.Гусак А.А. Высшая математика / А.А.Гусак. — Мн.: «ТетраСистемс», 2003. Т. 1. - 543 с.
3.Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, Ч. 1, 2.
—М.: ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2003.
4.Ильин В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, З.Г. Поздняк. – М.: Физматлит, 1981.
5.Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемешев. – М.:Наука, 1985.
6.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов. - М.: Физматлит, 1978.
7.Погорелов А.В. Аналитическая геометрия / А.В. Погорелов. - М.: Высш. шк., 1978.
8.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. - М.: Высш. шк., 1987.
9.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии / О.Н. Цубербиллер. – М.: Наука, 1970.
10.Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный. – М.: Рольф, 2007.
11.Краснов М.Л. Вся высшая математика / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. – М.: Едиториал УРСС, 2003.
238
237
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
3.3. Уравнения прямой линии. Геометрическое |
|
|
|
истолкование неравенства и системы |
|
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………….. |
3 |
неравенств первой степени…………………… |
93 |
1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. |
|
3.4. Задачи на прямую линию……………………..… 104 |
|
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ…………….…… 4 |
3.5. Уравнение линии как геометрического |
|
|
1.1. Определители. Способы вычисления……………… |
места точек………………………………………. |
120 |
|
|
4 |
|
|
1.2. Системы линейных уравнений. |
|
3.6. Кривые второго порядка………………………….124 |
|
Правило Крамера…………………………….. |
14 |
3.7. Преобразование декартовых координат……….. 143 |
|
1.3. Основные определения теории матриц. |
|
3.8. Полярная система координат. Уравнения |
|
Сложение и умножение матриц………………………. |
кривых…………………………………………… |
152 |
|
1.4. Транспонирование матриц……………………….. |
21 |
|
|
30 |
3.9. Параметрические уравнения плоских кривых…… …. |
||
|
|
160 |
|
1.5. Обратная матрица…………………………………. 32 |
4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В |
|
|
1.6. Матричный метод решения систем линейных |
|
|
|
уравнений…………………………………………. |
35 |
ПРОСТРАНСТВЕ……………………………………. |
163 |
1.7. Решение систем линейных уравнений методом |
|
4.1. Системы координат…………………………….. |
163 |
исключения (метод Гаусса)………………………. 37 |
4.2. Плоскость……………………………………….. |
164 |
|
1.8. Ранг матрицы……………………………………… 41 |
4.3. Прямая линия……………………………………. 171 |
||
1.9. Решение систем линейных уравнений. Теорема |
|
4.4. Прямая и плоскость…………………………….. |
175 |
Кронекера-Капелли………………………………. |
45 |
4.5. Поверхности второго порядка…………………. |
180 |
|
|
4.6. Геометрический смысл уравнений с тремя |
|
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА………………………………… 54 |
неизвестными в пространстве………………… |
192 |
|
2.1. Векторные и скалярные величины. Линейные |
|
4.7. Параметрические уравнения |
|
операции над векторами……………………………54 |
пространственных кривых…………………….. 197 |
||
2.2. Разложение вектора по координатным осям…….. 62 |
5. ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА……………… 199 |
||
2.3. Скалярное произведение……………..…………… 68 |
|
|
|
2.4. Векторное произведение….……………………… |
74 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………. |
237 |
2.5. Смешанное произведение…………….…………… 78 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………… |
238 |
|
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ |
|
||
|
|
|
|
НА ПЛОСКОСТИ………………………………………..83 |
|
|
|
3.1. Координаты точки на прямой и на плоскости. |
|
|
|
Длина и направление отрезка …………………. |
83 |
|
|
3.2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь |
|
|
|
Треугольника и многоугольника. Центр тяжести…87
240
239