Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
И.Н. Пантелеев
ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Воронеж 2012
УДК 681.3.06(075)
Пантелеев И.Н. Практикум по высшей математике: векторная алгебра и аналитическая геометрия / И.Н. Пантелеев. Воронеж: ФГБОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012. – 240 с.
Учебное пособие включает материал, необходимый для подготовки к практическим занятиям по курсу высшей математики в первом семестре. Содержит краткий теоретический материал по методам решения задач по векторной алгебре и аналитической геометрии с приложениями к задачам геометрии, механики и физики, а также большое количество примеров, иллюстрирующих основные апгоритмы решения.
Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 280700.62 «Техносферная безопасность» («Защитавчрезвычайныхситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы обучения.
Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и содержатся в файле
Vmfmm_VektAnGm2.pdf.
Ил. 106. Библиогр.: 11 назв.
Рецензенты: кафедра физики Воронежского государственного университета инженерных технологий (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Н.Н. Безрядин); профессор Г.Е. Шунин
©Пантелеев И.Н., 2012
©Оформление. ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012
И.Н. Пантелеев
ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие
Воронеж 2012
Учебное издание
Пантелеев Игорь Николаевич
ПРАКТИКУМ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ: ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В авторской редакции
Компьютерный набор И.Н. Пантелеева
Подписано к изданию 17.12.2012. Объем данных 1832 Кб
ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»
394026 Воронеж, Московский просп., 14
ВВЕДЕНИЕ
Изучение математики развивает логическое мышление, приучает человека к точности, к умению выделять главное, сообщает необходимые сведения для понимания сложнейших задач, возникающих в различных областях деятельности. Цель пособия - помочь студентам научиться самостоятельно решать задачи по курсу высшей математики, при условии, что изучение теории должно выполняться по рекомендованному в программе учебнику и конспекту лекций.
Каждый параграф начинается с краткого теоретического введения, приводятся основные определения, теоремы без доказательств, главнейшие формулы, методы и способы решения задач. Решение типовых примеров и задач в параграфе, как правило, расположено по возрастающей трудности.
Характерной особенностью является включение решений задач вычислительного характера, что позволяет развивать необходимые навыки и умение для студентов инженерных специальностей. Кроме того, значительное внимание уделено методам решения прикладных задач с физическим смыслом.
Часть задач была заимствована из сборников: Погорелов А.В. Аналитическая геометрия, 1978; Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, 1976; Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии, 1967; Ильин В.А., Позняк З.Г. Аналитическая геометрия, 1981.
Пособие включает задания для типового расчета по аналитической геометрии и векторной алгебре, изучаемым в курсе высшей математики в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 280700.62 «Техносферная безопасность»
3
1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 1.1. Определители. Способы вычисления
1°. Определителем 2-го порядка называется число,
обозначаемое выражением
a1 |
b1 |
= a b −a b |
|||
a2 |
b2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
||
где a1, a2, b1, b2 — элементы определителя.
Определителем 3-го порядка называется обозначаемое выражением
(1)
число,
a1 |
b1 |
с1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
с2 |
= a1b2c3 +a2b3c1 +a3b1c2 |
−a3b2c1 −a2b1c3 − a1b3c2 (2) |
||||||
a3 |
b3 |
c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определителем п-го порядка называется число |
|
||||||||
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
det A = |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
an1 |
an2 |
... |
ann |
|
|
|
где a ij — элемент определителя, находящийся на пересечении i -й строки j-го столбца.
2°. Свойства определителей.
1.Величина определителя не изменится, если заменить строки столбцами, а столбцы — строками, не меняя их порядка.
2.Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то определитель изменит знак.
3.Чтобы умножить определитель на число, достаточно умножить на это число все элементы какой-нибудь строки (столбца), т. е. общий множитель, содержащийся во всех элементах строки (столбца), можно вынести за знак определителя.
4
4.Определитель равен нулю, если все элементы какойнибудь строки (столбца) равны нулю.
5.Определитель с двумя одинаковыми столбцами (или строками) равен нулю.
6.Если элементы некоторого ряда определителя представляют сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей
a1 |
b1 + c1 |
|
= |
|
a1 |
b1 |
|
+ |
|
a1 |
c1 |
|
||||
|
|
|
|
(4) |
||||||||||||
a |
2 |
b |
+ c |
|
|
|
a |
2 |
b |
|
|
|
a |
2 |
c |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||
7. Величина определителя не изменится, если к элементам одного ряда прибавить элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число
|
a1 |
b1 |
|
= |
|
a1 |
|
b1 + ka1 |
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
2 |
b |
|
|
|
a |
2 |
b +ka |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||
3°. Вычисление определителей.
1.Значение определителя второго порядка находится по формуле (1).
2.Правило Саррюса. а) Для вычисления определителя 3-го порядка приписывают к нему снизу две первые строки и берут сумму произведений трех элементов расположенных на главной диагонали и «прямых», параллельных главной диагонали, со знаком минус берут сумму произведений элементов, расположенных на побочной диагонали, и «прямых», параллельных ей
= a1b2c3 +a2b3c1 +a3b1c2 −a3b2c1 −a2b1c3 −a1b3c2
б) Правило Саррюса имеет еще и другой вид. К определителю приписывают справа два первых столбца и вычисляют сумму произведений элементов, расположенных на
главной диагонали, и «прямых», параллельных ей и со знаком минус вычисляют сумму произведений элементов,
5