Материал: Практикум по высшей математике. векторная алгебра и аналитическая геометрия. Пантелеев И.Н
каких значениях α и β точка С лежит на прямой АВ? Найти направляющие косинусы прямой AВ.
Вариант 23
1. |
Даны две вершины: А(-6; -5) и В(2; 4) параллелограмма |
|||
|
АВСD и точка М(3; 1) пересечения его диагоналей. Найти |
|||
|
координаты вершин С и D и уравнения сторон |
|||
|
параллелограмма. |
|
|
|
2. |
Через |
точку |
пересечения |
прямых |
|
x − 2y −5 = 0 и 2x-3y-8 = 0 |
провести |
прямую, |
|
|
параллельную прямой 3x − 2y + 2 = 0 . |
|
||
3. |
Проверить, |
что |
прямые |
|
|
2x + |
5y −15 = 0 и 11x −5y +30 = 0 касаются |
одного и |
|
того же круга с центром в начале координат, и вычислить радиус этого круга.
4.Даны координаты вершин треугольника: А (-4; 0), В (5; - 6), С (0; 6). Определить вид треугольника и найти внутренние углы треугольника.
5.На оси OZ найти точку, равноудаленную от точки А (2; 3;
4)и от плоскости, проходящей через точку B (1; 5; 0) параллельно плоскости 2x +3y + z +15 = 0 .
6.Найти угол между плоскостью, проходящей через точки О
(0; 0; 0), М (0; 2; -2) и N (2; 2; 2) и плоскостью УOZ .
7.Нормаль к плоскости α составляет с координатными осями равные острые углы. Составить уравнение плоскости при условии, что расстояние от начала координат до неё равно 4 ед. Определить, при каком
значении m плоскость α будет перпендикулярна плоскости
β: 2x − my + 4z +3 = 0.
8. Написать |
канонические |
уравнения |
|
x − y + z − 2 = 0, |
. |
|
|
прямой: |
= 0 |
|
|
x − 2y − z + 4 |
|
|
|
9. На осях координат отложены от начала координат отрезки, соответственно равные 1, 2 и 3 ед.; концы этих отрезков соединены прямыми. Найти точку пересечения и угол
226
между плоскостью полученного треугольника и прямой,
|
проходящей через точки А(0; 4; -2), |
В (3; -1; 2). |
|
||||||||||||||
10. |
Составить уравнения прямой, проходящей через точку М(- |
||||||||||||||||
|
4; |
3; |
-8) |
|
|
|
перпендикулярно |
двум |
|||||||||
|
прямым: |
x +1 |
= |
y +5 |
= |
z |
|
и |
|
x −5 |
= |
y + 2 |
= |
z −1 |
. |
|
|
|
−3 |
|
− 4 |
3 |
−6 |
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
+3 = 0, |
||||||||
11. |
При |
каком |
значении n |
|
прямая |
3x + ny + z |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x −3y + 4z +1 = 0 |
||||
параллельна плоскости 2x − y − 2z +3 = 0 ?
Вариант 24
1. Даны вершины четырехугольника А(-4; -2), В(-3; 1), С(4; 3), D(5; -3). Показать, что середины сторон этого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
2. Найти уравнения перпендикуляров к прямой 5x − 4y − 20 = 0 , восстановленных в точках пересечения её
о осями координат.
3. Даны уравнения оснований трапеции: 2x + y −5 = 0, 4x + 2y −7 = 0 . Найти её высоту.
4.Прямая задана уравнением 35x + 45y −3 = 0 . Показать, что
данное уравнение является нормальным и найти острый угол между указанной прямой и осью OX.
5.Найти расстояние от точки К (3; -2; 1) до плоскости, проходящей через точки М (5; -4; 3) и N (-2; 1; 8) и перпендикулярной плоскости YOZ.
6.Плоскость α проходит через точки А (0; 0; z), B (3; -2; 0),
С (3; 0; 1). |
Плоскость |
β задана |
уравнением |
x + 2y + 2z −7 = 0 . |
Определить |
аппликату |
точки А при |
условии, что угол между плоскостями α и β равен
arccos 218 .
7. Проверить, имеют ли общую тoчку следующие четыре плоскости:
227
5x − z +3 = 0, 2x − y − 4z +5 = 0, 3y + 2z −1 = 0, 3x + 4y +5z −3 = 0
. |
|
|
|
8. Написать |
канонические |
уравнения |
|
6x −7 y − z − 2 = 0, |
. |
|
|
прямой: |
|
|
|
x + 7 y − 4z −5 = 0 |
|
|
|
9. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат и составляющей равные углы с плоскостями 4y = 3x, y = 0, z = 0 . Найти эти углы.
10. Доказать, что треугольник АВС, где А(2; 3; -1), В(3; -1; 2), С(-1; 2; 3), равносторонний. Составить уравнения сторон треугольника и найти длину его высоты.
x = 2 + 2t, |
и 3x − y + 2z −7 = 0, |
11. Доказать, что прямые y = 3 − 4t, |
|
|
x +3y − 2z +3 = 0 |
z = −3 −5t |
|
параллельны и написать уравнения прямой, проходящей посередине между ними.
Вариант 25
1.Даны вершины А(-3; -2), В(4; -1), С(1; 3) трапеции ABCD (AD // ВС ). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершин D этой трапеции.
2.При каких значениях с площадь фигуры, ограниченной координатными осями и прямой 3x +10y + c = 0 , равна 135
кв.единицам?
3. Даны стороны треугольника:
x − y + 2 = 0 (AB), x = 2 (BC), x + y − 2 = 0 (AC) . Составить
уравнение прямой, проходящей через вершину В и через точку на стороне АС, делящую её (считая от вершины А ) в отношении 1:3. Найти угол между построенной прямой и стороной АС, а также длину высоты, опущенной из вершины В.
4.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(0; 2)
иобразующей с осью ОХ угол, вдвое больше угла,
228
который составляет с той же осью прямая 
3x − y +1 = 0 .
5. Найти аппликату точки M(2; 3; Z ) при условии, что расстояние от неё до плоскости, проходящей через точку А
(-3; 3; 12 ) перпендикулярно вектору BC={7;−6;−6} равно 4
ед.
6.Определить, при каких значениях m и n плоскости mx−3y+6z +5=0и6x+9y −nz−4=0 будут параллельны. При m = n = 2 найти угол между указанными плоскостями.
7.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
|
А(10; -5; 2), B(16; 3; 11), |
|
С(-11; -33; 0), и указать |
|||||
|
особенность в её расположении. Найти углы, |
|||||||
|
образованные перпендикуляром, проведенным из начала |
|||||||
|
координат к плоскости, с координатными осями. |
|
|
|||||
8. |
Написать |
|
канонические |
|
уравнения |
|||
|
x +5y + 2z −5 = 0, |
. |
|
|
|
|
||
|
прямой: |
|
5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
2x −5y − z + |
|
|
|
|
|
||
9. |
Найти угол |
между |
прямыми, |
одна из |
которых |
задана |
||
|
уравнением |
x − y − 2z −1 = 0, |
другая |
проходит |
через |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
2x + 2y + z +3 = 0 |
|
|
|
|
||
|
точки М(1; 0; 3) и N(5; -2; 7). |
|
|
|
|
|||
10. |
Провести |
через |
точку |
пересечения |
плоскости |
|||
x = 2t,
x + y + z −10 = 0 с прямой y =1−t, прямую, лежащую в
z = 3 +t
этой плоскости и перпендикулярно к данной прямой.
11. Найти периметр треугольника, вершины которого находятся в точках А(8; 0; 6), В(8; -4; 6), С(6; -2; 5).
Составить уравнения средней линии треугольника, параллельной стороне АС.
Вариант 26
1. Даны вершины треугольника A(-12; -2); B(4; 10); C(-6; - 10). Показать, что этот треугольник прямоугольный и
229
|
составить уравнение высоты, проведенной из вершины |
|||||
|
прямого угла. |
|
|
|
|
|
2. |
Написать |
уравнение |
прямой, |
параллельной |
прямой |
|
|
2x +5y -1 = 0 и отсекающей |
от |
первого координатного |
|||
3. |
угла площадь, равную 5. |
|
|
|
|
|
Основание |
равнобедренного |
треугольника |
имеет |
|||
|
уравнениеx + 7 y - 21 = 0 . |
Одна из боковых сторон имеет |
||||
|
уравнение |
4x +3y - 34 = 0 . |
Найти уравнение |
другой |
||
боковой стороны, если известно, что она проходит через точку M(8; 9).
4.Сторона AB и DC параллелограмма заданы уравнениями
2x - y +5 = 0 и x - 2y + 4 = 0 , диагонали его пересекаются
в точке M(1; 4). Найти длину высоты параллелограмма из вершины B.
5. Найти |
расстояние |
от |
точки |
пересечения |
плоскостей2x - 4y +3z +3 = 0 , |
|
x-y + z = 0 , |
||
x + 2y + z - 6 = 0 до плоскости, |
проходящей |
через точки |
||
M1(1; 4; 2), M2(2; 3; 1), |
M3(1; 1; 2). |
|
||
6.Плоскость α проходит через точку M1(1; 3; 1)
параллельно плоскости 2x − 4y +3z −1 = 0 . Плоскость β
проходит через точку M2(5; -1; 2) и содержит ось ox . Найти угол между плоскостями α и β.
7. Плоскость α проходит через точку P(3; -1; 2) и отсекает на оси ox отрезок вдвое больше, чем на оси oy и втрое
больше, чем на оси oz . Плоскость β задана уравнением 3x + my − z +1 = 0 . При каком m плоскости будут
перпендикулярны?
8. Написать каноническое уравнения прямой
7x − 3y + z −1 = 0,3x − 5y + 2z + 3 = 0 .
9.Найти расстояние от точки P(1; 3; 5) до прямой
x1−1 = y 2− 2 = z −2 3 .
230