Материал: Приближенные методы-Буханько АА

УДК СГАУ: 519.24 (075) ББК 22.1я7

Б 94

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, доц. СамГУ Л.В. Степанова; д-р физ.-мат. наук, проф. СГАУ А.И. Хромов.

Буханько А.А., Чостковская О.П.

Б94 Приближенные методы решения краевых задач для обыкновен-

ных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и интегральных уравнений: учеб.-метод. пособие /

А.А. Буханько, О.П. Чостковская. – Самара: Изд-во Самар. гос. аэро-

косм. ун-та, 2011. - 68 с.: ил.

ISBN 978-5-7883-0816-6

Пособие посвящено методам нахождения приближенных решений краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными (гиперболического, параболического и эллиптического типов) и интегральных уравнений (Фредгольма, Вольтерра). Пособие содержит материалы, необходимые для выполнения курсовой работы по курсу «Уравнения математической физики».

Предназначено для студентов специальностей «Механика и математическое моделирование», «Динамика и прочность машин» и других инженернотехнических специальностей, а также для аспирантов и инженернотехнических работников. Предложенный материал полезен при изучении приближенных методов решения задач некоторых разделов математики и механики.

2

3

ВВЕДЕНИЕ

Всамых разнообразных областях современной науки и техники часто приходится встречаться с математическими задачами, для которых невозможно получить точное решение классическими методами или же решение может быть получено в таком сложном виде, которое неприемлемо для практического использования.

Цель пособия – помочь студенту при изучении приближенных методов решения различных дифференциальных и интегральных уравнений. В данной работе рассмотрены основные вычислительные методы, позволяющие найти приближенные решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и интегральных уравнений. В каждом разделе для лучшего понимания алгоритмов решений приведены примеры расчетов.

Впервой главе пособия рассматриваются численные и аналитические методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Вторая глава посвящена одному из самых распространенных методов численного решения уравнений с частными производными – методу сеток. Рассматривается применение этого метода для уравнений параболического, гиперболического и эллиптического типов.

Втретьей главе рассматриваются некоторые численные методы решения интегральных уравнений: методы последовательных приближений, конечных сумм и вырожденного ядра.

Четвертая глава содержит задание на курсовую работу по курсу «Уравнения математической физики». Выполнение курсовой работы требует самостоятельного составления краевых задач и интегральных уравнений, их решения приближенными методами и сравнения с точным (аналитическим) решением. Цель курсовой работы состоит в том, чтобы освоить приближенные методы решения некоторых дифференциальных и интегральных уравнений. Структура курсовой работы соответствует структуре первых трех глав данного учебно-методического пособия.

4

1 ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассматриваются методы решения линейной краевой задачи:

родными.

Методы приближенного решения краевой задачи (1.1), (1.2) разделяются на две группы:

-разностные методы (позволяют найти приближенное решение в виде таблицы);

-аналитические методы (позволяют найти приближенное решение в виде аналитического выражения).

1.1 Метод конечных разностей

Одним из наиболее простых методов решения краевой задачи (1.1) – (1.2)

является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений.

Разобьем отрезок [a,b] на n

Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные конечно-

разностными отношениями

5