Материал: Приближенные методы-Буханько АА

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

y(1)	y (1) 1,	(12)
y(2)	0,5y (2) 1,1137,

используя конечно-разностные отношения.

Выберем шаг h 0, 2 . Согласно (13), (1.8) и условий задачи имеем:

	m			2	h	, k 1			h	0,5h2 , f				0,5x2		ln x 4,
	m			2		, k 1				0,5h2 , f			i	0,5x2		ln x 4,
	i				xi		i		xi				i		i	i
					xi				xi
	0		1,		1	1,	0	1,		1		0,5,		A 1,	B	1,1137.
	0				1		0			1
Прямой ход. Записываем в табл. 1.2 числа xi														0, 2i	и вычисляем величины

mi , ki , fi ( i		0,3 ). Далее находим по (1.13):
c0		1		0, 2			1, 290,				d0	0,82		0, 2	4,5 0, 04 0,385.

	1,8		0,8		0,82							0,8
	1,8		0,8		0,82							0,8
Записываем полученные числа в табл. 1.2 и вычисляем ci																, di при i 1, 2,3 :

	c1									1								1

				m1 k1c0												1,833		0,853	1, 29
i	1:			m1 k1c0												1,833		0,853	1, 29
	d				f h2						k c d				0		4,538 0,853		1, 29
	1			1							1	0			0
	c2									1								1

						m2					k2c1						1,857	0,877	1,366
i	2 :					m2					k2c1						1,857	0,877	1,366
	d		2			f		2		h2	k		c d 4, 644 0, 04						0,877
			2					2			2			1		1
	c3									1								1

					m3						k3c2						1,875	0,895	1,517
i	3 :				m3						k3c2						1,875	0,895	1,517
	d	3				f	3		h2		k	c d				2	4,81 0, 04 0,895
		3					3				3			2		2

Полученные значения ci , di записываем в табл. 1.2. Обратный ход. По формуле (1.14) находим

1,366,

0,385 0, 605;

1,517,

1,366 0, 605 0,911;

1,933,

1,517

0,911

1, 429.

0,5	1,933 1, 429		1,1137	0, 2
y5					2, 407 .
	0,5(1	1,933)	0, 2

Далее по формулам (1.15) приступаем к последовательному вычислению

значений yi	( i 4,3, 2,1) и заполняем столбец обратного хода в табл. 1.2.
	y4	c3 (d3	y5 )	1,890,	y3	c2 (d2	y4 )	1, 484,
	y2	c1 (d1	y3 )	1, 200,	y1	c0 (d0	y2 )	1, 052.
Значение y0	находим по формуле (1.16):

y0	1, 052		0, 2	1, 065

	1	0, 2

и записываем в табл. 1.2, в последнем столбце которой для сравнения приве-

дены значения точного решения y(x) x2					2ln x .
Таблица 1.2		– Метод прогонки для задачи (11), (12), конечно-
		разностные отношения
					Прямой ход		Обратный
i	xi	mi	ki	fi	Прямой ход		ход	y(xi )
							ход
					ci	di	yi
					ci	di	yi

0	1,0	-1,800	0,820	4,500	-1,290	0,385	1,065	1,000
1	1,2	-1,833	0,853	4,538	-1,366	0,605	1,052	1,075
2	1,4	-1,857	0,877	4,644	-1,517	0,911	1,200	1,287
3	1,6	-1,875	0,895	4,810	-1,933	1,429	1,484	1,620
4	1,8						1,890	2,064
5	2,0						2,407	1,614

Рассмотрим метод прогонки для решения системы, которая получается при замене уравнения (1.1) и второго краевого условия (1.2) центральными конечно-разностными отношениями:

yi 1

2 yi

yi 1

qi yi

(i 1, n

1),

(1.17)

0 y0

0 yn

Запишем первые n

1 уравнений системы (1.17) в виде

yi 1

mi yi

ki yi 1

2h2 f

i ,

hpi

(1.18)

2q h2

hpi

Аналогично предыдущему приводим уравнения (1.18) к виду

(1.19)

ci (di

1 )

1, n

где коэффициенты ci , di

вычисляются по формулам:

i 1:

0 h

, d1

;

m1 ( 1

0 h

0 h) k1 1

(1.20)

i 2, n : ci

ki ci 1di 1.

mi ki ci 1

Вычисления проводятся следующим образом.

Прямой ход. По формулам (1.18) вычисляем значения mi , ki . По формулам (1.20) определяем коэффициенты c0 , d0 , а затем по рекуррентным фор-

мулам находим последовательно значения ci , di при i 2, n .

Обратный ход. Из уравнения (1.19) при i n , i n 1 и последнего уравнения системы (1.17) получаем систему

yn	cn (dn		yn 1 ),
yn 1	cn 1 (dn 1			yn ),
0 yn		yn	1	yn 1	B,
	1		2h

разрешая которую относительно	yn , получим

yn	2Bh	1 dn	cn 1dn 1		.	(1.21)
yn					.	(1.21)
	2 0 h		cn 1	1
		1
		1		cn
				cn

Используя уже известные значения cn , dn , cn 1, dn 1 , находим yn . Значения yi (i n 1, ,1) получаем из рекуррентных формул (1.19). Для вычисления y0 используем предпоследнее уравнение системы (1.17):

y0	1 y1	Ah	.	(1.22)
		0 h
1

Результаты вычислений рекомендуется представлять в виде таблицы (см.

табл. 1.3).

Таблица 1.3 – Порядок вычислений по методу прогонки (центральноразностные отношения)

					Прямой ход		Обратный
i	xi	mi	ki		Прямой ход		ход
				i			ход
				i	ci	di	yi
					ci	di	yi

0	x0						y0
1	x1	m1	k1	1	c1	d1	y1
2	x2	m2	k2	2	c2	d2	y2
…	…	…	…	…	…	…	…
n 1	xn 1	mn 1	kn 1	n 1	cn 1	dn 1	yn 1
n	xn	mn	kn	n	cn	dn	yn

Пример 1.4. Методом прогонки найти приближенное решение задачи (11)- (12), используя центрально-разностные отношения.

Согласно (14), (1.18) и условиям задачи имеем:

				h2	4 xi							2x h						2h2 x			0,5x2
	m						,	k					i		,					i				ln x		4 ,
	m						,	k	i						,	i								ln x		4 ,
	i			2xi	h				i			2xi		h		i		2xi		h			i		i
				2xi	h							2xi		h				2xi		h
			0	1,	1		1,			0			1,		1	0,5,			A		1,	B		1,1137.
			0		1					0					1
Прямой ход. Записываем в табл. 1.4 числа																		xi		0, 2i		и вычисляем величины

mi , ki ,	i ( i			1,5 ). Далее находим по (1.20)
c				1	0, 2								1, 299,			d	0,168				0,846			0, 2		0,379.
c													1, 299,			d	0,168				0,846					0,379.
1	1,828 0,8						0,846									1								0,8
	1,828 0,8						0,846																	0,8
Записываем полученные числа в табл.																1.4 и вычисляем последовательно ci ,

di при i		2,5 . Результаты приведены в табл. 1.4.
Обратный ход. По формуле (1.21) находим
			y5	2 1,1137				0, 2					0,5	2,947			2, 072 1, 464							2, 401 .

							0, 4			0,5			2, 072				1
																	1


																92,172
Далее по формулам						(1.19)					приступаем к последовательному вычислению
значений	yi		( i 4,3, 2,1)					и заполняем столбец обратного хода в табл. 1.4.
Значение y0			находим по формуле (1.22):
									y0				1,309			0, 2	1,386

														0,8
														0,8

и записываем в табл. 1.4, в последнем столбце которой приведены значения

точного решения y(x)			x2 2ln x .
Таблица 1.4		– Метод прогонки для задачи (11),				(12), центрально-
		разностные отношения
					Прямой ход		Обратный
i	xi	mi	ki		Прямой ход		ход	y(xi )
i	xi	mi	ki	i			ход	y(xi )
					ci	di	yi
0	1,0						1,386	1,000
1	1,2	-1,828	0,846	0,168	-1,299	0,379	1,309	1,075
2	1,4	-1,848	0,867	0,173	-1,384	0,600	1,387	1,287
3	1,6	-1,864	0,882	0,181	-1,557	0,914	1,602	1,620
4	1,8	-1,876	0,895	0,191	-2,072	1,464	1,943	2,064
5	2,0	-1,886	0,905	0,202	-92,172	2,947	2,401	1,614

1.3 Базисные функции

Рассматриваемые ниже аналитические методы нахождения приближенного решения краевой задачи (1.1) – (1.2) основаны на выборе системы базисных (координатных) функций. Системы базисных функций обладают тем свойством, что все остальные функции (с учѐтом некоторых ограничений) могут быть разложены на их сумму (или интеграл). Например, любая аналитическая функция одного аргумента может быть разложена в сумму степенных функций с различными коэффициентами, то есть разложена в ряд Тейлора. Если в качестве базисных выбраны синусоидальные функции, то разложение по ним есть преобразование Фурье и т.д.

Система базисных функций

u0 (x), u1 (x), , un (x), ,		(1.23)
заданная на отрезке [a,b] , удовлетворяет следующим условиям:
1) Система (1.23) является ортогональной, т.е.
b
ui x u j x dx 0	при i	j,
a
b
u2 x dx	0.
i
a

2) Система (1.23) является полной, т.е. не существует никакой другой отличной от нуля функции, ортогональной ко всем функциям ui x i 0,1, 2, .

3) Конечная система базисных функций ui x i 0, n выбирается так, что функция u0 x удовлетворяет неоднородным (заданным) краевым условиям:

	a u0			A,	b u0	B,	(1.24)
а остальные функции ui x				удовлетворяют однородным			(нулевым)
а остальные функции ui x	i	1, n		удовлетворяют однородным			(нулевым)
краевым условиям:

a	ui		b	ui	0	i 1, n .	(1.25)

Отметим, что при выборе базисных функций условие ортогональности не является обязательным. Например, взяв за основу полную систему функций. ортогональных на отрезке [a,b] , можно выбрать в качестве базисных функ-

ций линейные комбинации функций из этой системы. Достаточно лишь, чтобы выбранные функции (1.23) были линейно независимы на отрезке [a,b] .

Решение краевой задачи (1.1) – (1.2) методами Галеркина, коллокаций и Ритца ищется в виде

	n
y x u0 x	ciui x .	(1.26)
	i 1

Источник: https://studfile.net/preview/15721948/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)