Материал: Приближенные методы-Буханько АА

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ПРИЛОЖЕНИЕ I . Аналитические решения уравнений в частных производных (метод Фурье)

Метод Фурье (или метод разделения переменных) принадлежит к числу важнейших методов решения уравнений математической физики. Схема решения для смешанных задач в случае двух независимых переменных состоит в следующем:

на первом этапе находится решение, удовлетворяющее уравнению и краевым условиям: частные решения уравнения ищутся в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной; с учетом граничных условий определяются собственные значения и соответствующие им собственные функции;

на втором этапе согласно начальным условиям определяются коэффициенты разложения в ряд Фурье по соответствующим собственным функциям для полученного на первом этапе решения.

Ниже предлагаются решения смешанных задач для уравнений параболического и гиперболического типов, полученные методом Фурье [5].

I.1 Смешанная задача о колебаниях однородной струны

Найти функцию u(x, t) , удовлетворяющую уравнению

u	a2u	xx	,	(I.1)
tt		xx

начальным условиям

u(x, 0) f (x), ut (x, 0)

(x) (0 x s)

(I.2)

иоднородным краевым условиям:

1)оба конца струны закреплены:

					u(0,t)		0, u(l,t)		0 ;	(I.3)
2)	левый конец струны ( x					0 ) закреплен, правый ( x				l ) – свободен:
					u(0,t)		0, ux (l,t)		0 ;	(I.4)
3)	левый конец струны ( x					0 ) свободен, правый ( x				l ) – закреплен:
					ux (0,t)		0, u(l,t)		0 ;	(I.5)
4)	оба конца струны свободны:
					ux (0,t)		0, ux (l,t)		0 .	(I.6)
Общее решение задачи имеет вид
		u		x,t	An cos		n at Bn sin		n at X n x ,
					n
			2 l					2	l
	An			f x X n x dx,			Bn		x X n x dx,
	An		l	f x X n x dx,			Bn	al n	x X n x dx,
			l	0				al n	0

где n – собственные значения,

X n (x) – собственные функции, соответст-

вующие краевой задаче (см. табл. I.1.).

Таблица I.1. – Собственные значения и функции для волнового уравнения

Задача

X n (x)

(I.1), (I.2), (I.3)

sin

n x

(I.1), (I.2), (I.4)

sin

n x

(I.1), (I.2), (I.5)

cos

n x

(I.1), (I.2), (I.6)

cos

n x

I.2 Смешанная задача о теплопроводности в однородном стержне

Найти функцию u(x, t) , удовлетворяющую уравнению

a2u

(I.7)

начальному условию

u(x, 0)

f (x)

x s)

(I.8)

иоднородным краевым условиям:

1)оба конца стержня теплоизолированы:

	ux (0,t)		0, ux (l,t)		0 ;			(I.9)
2) на обоих концах стержня поддерживается постоянная температура:
	u(0,t)	0,		u(l,t) 0 ;				(I.10)
3) левый конец стержня ( x			0 ) теплоизолирован, на					правом конце
( x l ) поддерживается постоянная температура:
	ux (0,t)		0, u(l,t)		0 ;			(I.11)
4) на левом конце стержня ( x			0 ) поддерживается постоянная темпера-
тура, правый конец ( x	l ) теплоизолирован:
	u(0,t)	0, ux (l,t)			0 .			(I.12)
Общее решение задачи имеет вид
u x,t	A cos		n	x B sin	n	x e n2 a2t .
	n		n	n	n
	n
В табл. I.2 представлены собственные значения					n		и значения коэффициен-
					n

тов An , Bn , соответствующие краевой задаче.

Таблица I.2. – Собственные значения и коэффициенты разложения

Задача

X n (x)

2 l

(I.7), (I.8), (I.9)

x cos

n xdx,

(I.7), (I.8), (I.10)

2 l

x sin

n xdx

l 0

2 l

(I.7), (I.8), (I.11)

x cos

n xdx,

(I.7), (I.8), (I.12)

2 l

x sin

n xdx

l 0

ПРИЛОЖЕНИЕ I I. Связь между дифференциальным уравнением и уравнением Вольтерра

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

d 2u	p x	du	q x u f x a x b
dx2		dx

при начальных условиях

u a A, u a B .

Положим

d 2u

dx2

y x

и дважды проинтегрируем

du	x			x	s
	y s ds C1	,	u		ds y t dt C1 x a C2 .

dx
	a			a	a

Изменяя порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

(II.1)

(II.2)

(II.3)

x	s	x	x		x				x
ds y t dt		dt y t ds				x t y t dt			x s y s ds .
a	a	a	t		a				a
Кроме того,	из начальных условий (I.2) при x							a	найдем C1	B, C2 A .
Поэтому
				du	x
				du	y	s ds	B ,			(II.4)

				dx
				dx	a
					a
			x
	u	x		x s	y	s ds	B x	a	A .	(II.5)

Подставляя выражения (II.3), (II.4) и (II.5) в дифференциальное уравнение (II.1), получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода:

		x
y	x	K	x, s	y s ds F	x ,	(II.6)
		a
где
	K x, s		p(x) q(x)(x s),
F (x)	f (x) Bp(x)			B(x a)	A q(x).
Зная функцию y(x) , можно по формуле (II.5) найти решение u(x)						и про-

изводную u (x) ; таким образом, интегральное уравнение (II.6) включает в

себя всю информацию, связанную с начальной задачей (задачей Коши) для дифференциального уравнения (II.1).

Аналогичный результат получается для линейного дифференциального уравнения n-го порядка.

Обратно, если ядро K(x, s) является целым полиномом относительно s степени n, т.е.

	n
K x, s	am x sm ,
	m 0

то путем последовательного дифференцирования интегрального уравнения (II.6) придем к задаче Коши для некоторого линейного дифференциального уравнения.

Пример II.1. Решить интегральное уравнение

	x
y x	2 x s y s ds x2 .	(II1)

Последовательно продифференцировав уравнение (II1) два раза, получим

			x
y x	2 y	x	y s	ds 2x ,	(II2)
			0
y (x) 2y (x)			y(x)	2 .	(II3)
Из уравнение (II1) и (II2) при x	0 получаем начальные условия:
y(0)		0,	y (0)	0 .
Решая известным способом дифференциальное уравнение (II3), находим
y(x) 2 2e x 1 x .

Источник: https://studfile.net/preview/15721948/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)