Материал: Приближенные методы-Буханько АА

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Связь	между	решением			y(x) интегрального уравнения (31) и решением
u(x)	x2 2 ln x		краевой задачи (32) определена выражениями (II.3), (II.5),
см. приложение II. Следовательно, точным
решением уравнения (31) будет
	y	x		d 2u x	2	2
	y	x		dx2	2	x2
				dx2		x2
и, обратно, приближенное решение задачи
(32) будет иметь вид:
	xi
	ui	xi		s yi ds 1 i 0,5 .

На рис. 3.1 представлено графическое сравнение точных и приближенных решений

уравнений (31), (32); в табл. 3.2 – их значения.

Рис. 3.1

Таблица 3.2 –		Сравнение приближенных
		и точных решений
xi	y(x)	yi	u(x)	ui
1,0	4,0000	4,0000	1,0000	1,0000
1,2	3,3889	3,3825	1,0754	1,0676
1,4	3,0204	3,0118	1,2871	1,2409
1,6	2,7813	2,7719	1,6200	1,4989
1,8	2,6173	2,6077	2,0644	1,8345
2,0	2,5000	2,4906	2,6137	2,2453

3.3 Метод вырожденного ядра

Ядро K x, s называется вырожденным, если оно может быть представлено в виде конечной суммы парных произведений:

	n
K x, s	i x i s ,	(3.16)
i	1

где функции i x , i s можно считать линейно независимыми. Для таких ядер интегральное уравнение Фредгольма второго рода (3.2):

		b
y x	f x	K x, s y(s)ds
		a

решается весьма просто. Подставляя выражение (3.16) в уравнение (3.2), будем иметь

			n
y x	f	x	ci	i (x) ,	(3.17)
			i 1
где
	b
ci	i	s y	s ds i	1, n	(3.18)
	a

некоторые постоянные коэффициенты. Если в выражения (3.18) подставить

функцию (3.17), то для определения коэффициентов ci

получим алгебраиче-

скую систему линейных уравнений

s f s ds

1 s ds

i 1, n

или

fi ,

(3.19)

где

s f s

ds,

s j s

ds .

(3.20)

Запишем систему (3.19) в виде

1, n .

Обозначим определитель этой системы

det	ij	ji

11		21		n1
12	1	22		n2

1n		2n	1	nn

и через		ij	- алгебраические дополнения соответствующих элементов
		ij
ij	ij	этого определителя. Если				0 , то по правилу Крамера нахо-
ij	ij
дим
				n
				ji (	) f j
			ci	j 1		i 1, n .

Следовательно, в силу (3.17) интегральное уравнение (3.2) имеет единственное решение:

y x

f x

n	n
		ji	f j i	x .
i 1	j 1

Отсюда, подставляя вместо				fi	соответствующее выражение (3.20) и заменяя
сумму интегралов интегралом суммы, получим
						b	x, s,
		y	x	f	x		x, s,	f s ds	,	(3.21)
						a


	n	n
где	x, s,	i	x	j	s ji		. Из формулы		(3.21)	вытекает, что
	i 1	j 1

функция

x, s,

R(x, s, )

n	n		ji
	i x	j s	ji


i 1	j 1

есть резольвента интегрального уравнения (3.2).

Собственные значения ядра K x, s определяются из уравнения
0 .			(3.22)

Если k k 1, m; m n есть корень уравнения (3.22) (очевидно,			k 0 ),

то соответствующие собственные функции k x ядра K x, s , т.е. нетривиальные решения однородного уравнения

y x

k K x, s y(s)ds ,

будут иметь вид

k x

	n
k	c(k )	i	x ,
k	i	i
i	1

где c(k )	- ненулевые решения линейной однородной системы
i
			n
			ij	ji cjk 0 i 1, n .
			j 1
Если		k	есть собственное значение ядра K x, s		, то неоднородное
		k

уравнение (3.2) или не имеет решений, или имеет бесконечное множество решений.

Пример 3.3. Найти приближенное решение уравнения

	1
y x	sh(xs) y s ds 1 x2 .	(33)
	0

Заменяем ядро K(x, s) sh(xs) суммой первых трех членов ряда Тейлора:

					(xs)3		(xs)5
	sh(xs)		xs						.
	sh(xs)		xs	3!				5!	.
				3!				5!
Тогда решение уравнения (33) будем искать в виде
	y(x) 1 x2			c x c x3				c x5 .
				1		2		3
Обозначим f (x) 1 x2 ,	1	x,	2		x3 ,	3		x5 ,		1	(s)
	1		2			3				1

3 и найдем по формулам (3.20) коэффициенты системы

1			1	1
f		(s) f (s)ds	(s s3 )ds		,
	1
1				4
0			0

s3 s, 2 (s) 3! ,

(3.19):

							f		1				(s) f (s)ds										1		1			(s3					s5 )ds						1			,
							f	2			2		(s) f (s)ds										1					(s3					s5 )ds									,
								2			2												0 3!														72
									0														0 3!														72
						f		1			(s) f (s)ds											1		1		(s5					s7 )ds						1						,
						f	3		3		(s) f (s)ds											1				(s5					s7 )ds												,
							3		3													0 5!															2880
								0														0 5!															2880
1		(s)		(s)ds				1	s2 ds							1		,						1			1		s	4 ds					1	,							1	1		s6 ds				1	,
11	1	(s)	1	(s)ds					s2 ds									,			12			1					s	4 ds						,				13			1			s6 ds					,
11	1		1												3						12		0 3!										30							13				5!					840
0								0							3								0 3!										30										0	5!					840
			1	s4 ds				1	,									1		1	s6 ds							1			,					1		1		s8 ds					1		,
	21			s4 ds					,				22					1			s6 ds										,		23			1				s8 ds							,
	21							5					22						3!									42					23		0 5!									1080
			0					5							0				3!									42							0 5!									1080
			1		6			1							1				1		8							1							1		1					10		1
	31			s		ds			,				32								s	ds								,			33							s			ds					.
				s		ds			,												s	ds								,										s			ds					.
								7											3!				54														5!							1320
			0					7							0				3!				54												0		5!							1320
Таким образом, получаем систему
								c		1		c					1		c			1	c					1		,
								c				c							c				c							,
								1	3				1		5				2			7	3					4
								c			1			c					1		c		1					c				1		,
								c						c							c							c						,
								2	30						1				42		2		54					3		72
								c			1				c						1		c							1			c				1				.
								c							c								c										c								.
								3	840						1				1080				2					1320					3		2880
Решив ее методом итерации, получаем c1																												0,3833,							c2					0, 0273, c3									0, 0008.

Таким образом, приближенное решение уравнения (33) можно записать в виде

y(x) 1 x2 0,3833x 0,0273x3 0,0008x5.

4 ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

I Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

I.1. Найти решение краевой задачи

y p(x) y q(x) y f (x), x a, b

0 y(a)	1 y (a)	A1 ,
0 y(b)	1 y (b)	B1

с шагом h 0,1 :

а) методом конечных разностей, используя конечно-разностные и цен- трально-разностные отношения; сравнить результаты вычислений с точным решением; сделать вывод;

б) методом прогонки, используя разностную схему, давшую в п. а) лучший результат;

в) сравнить результаты вычислений методом конечных разностей, методом прогонки с точным решением; сделать вывод.

I.2. Найти решение краевой задачи:

y p(x) y q(x) y f (x), x a, b

y(a) A2 , y(b) B2

с шагом h 0,1 методом Галеркина, методом коллокаций и методом Ритца. Привести сравнение результатов вычислений с точным решением. Сделать вывод.

Примечание: Для составления краевых задач использовать функции y(x) , p(x) , q(x) и коэффициенты 0 , 1 , 0 , 1 , приведенные в табл. 4.1.

II Уравнения в частных производных

II.1. Методом сеток найти приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:

a2u

, x

0, l , t 0;

2x2

x, 0

u 0,t

u l,t

Сравнить результаты решений с аналитическим решением.

Источник: https://studfile.net/preview/15721948/

Смотрите также:





Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
_1-тема-СтрМетал
_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)