Курсовая работа (т): Процес діяльності вчителя і учня при вивченні множин і відношень

Процес діяльності вчителя і учня при вивченні множин і відношень

КУРСОВА РОБОТА

Процес діяльності вчителя і учня при вивченні множин і відношень

Зміст

Вступ

Розділ І. Науково-теоретична і методична система досліджень

1.1 Множини і відношення як навчальний предмет у загальноосвітній школі

Розділ II. Методика викладання курсу множин та відношень в сучасній школі

.1 Поняття множини. Елемент множини. Порожня множина

.2 Способи задання множин

2.3 Відношення між множинами

2.4 Універсальна множина

2.5 Геометрична фігура

2.6 Круги Ейлера

.7 Означення перерізу двох множин

.8 Означення об’єднання двох множин

2.9 Розбиття множин на підмножини, що попарно не перетинаються

2.10 Означення різниці двох множин

2.11 Доповнення до об’єднання і перерізу множин

.12 Числові множини

Розділ IІІ. Система задач для вивчення множин і відношень в сучасній школі

Висновки

Література

множина відношення школа задача

Вступ

Німецький математик Георг Кантор (1845 - 1918), коли йому було 30 років, досліджуючи тригонометричні ряди і числові послідовності, опинився перед необхідністю порівнювати між собою нескінченні сукупності чисел. Для розв’язання проблем, що постали при цьому, Кантор ввів поняття множини, відповідно розвинув це поняття і став одним із засновників теорії множин.

Поява теорії множин була зустрінута з ентузіазмом багатьма авторитетними математиками. Вони побачили в ній можливість створення метамови математики, тобто формальної одностайної системи понять і принципів, за допомогою якої можна було б викласти з єдиних позицій зміст різноманітних традиційно далеких один від одного розділів математики. Перші такі досить успішні спроби були виконані вже незабаром після виникнення канторівської теорії множин.

Однак пізніші дослідники виявили в теорії Кантора чимало суперечностей: так званих парадоксів або антиномій теорії множин. Виникла кризова ситуація. Одна частина математиків, посилаючись на штучність сформульованих антиномій, вважала за краще не помічати ці суперечності або не надавати їм великого значення. У той час як інша (скажімо, відповідальніша) група математиків зосередила свої зусилля на пошуках більш обгрунтованих та точних принципів і концепцій, на яких могла б бути побудована несуперечлива теорія множин.

У результаті було запропоновано кілька формальних (або аксіоматичних) систем, які служать фундаментом сучасної теорії множин, а значить, фундаментом всієї класичної математики. Важливість цих досліджень серед іншого підкреслює той факт, що значний внесок у становлення аксіоматичної теорії множин зробили такі видатні математики і мислителі нашого століття, як Б.Рассел, Д.Гільберт, К.Гедель та ін.

У сучасній математиці поняття множини вважається одним з основних. Так або інакше з нього починається викладання традиційних математичних дисциплін і побудова нових математичних теорій, що виникають у зв’язку з поширенням сфери застосування математики. Універсальність цього поняття полягає в тому, що під нього можна підвести будь-яку сукупність як матеріальних, так і нематеріальних об’єктів. Тут підійде все: марки, люди, зірки, птахи, квіти, книжки, числа, точки, функції, аксіоми, відтінки, типи людських характерів, війни, революції тощо.

Мета роботи дослідити методику вивчення множин і відношень.

Об'єкт роботи процес діяльності вчителя і учня при вивченні множин і відношень.

Предмет роботи методична система вивчення множин і відношень.

Відповідно до мети були поставленні наступні завдання:

- провести аналіз програм з математики;

виявити взаємозв'язки між темами;

проаналізувати методичне забезпечення дисципліни, зокрема по темі курсової роботи.

Для досягнення мети та розв'язання поставлених завдань були використанні теоретичні (аналіз психолого-педагогічної навчальної та методичної літератури з проблеми дослідження, змісту програм і підручників для різних типів шкіл) та емпіричні (вивчення вітчизняного та зарубіжного педагогічного досвіду, аналіз уроків, спостереження, бесіди з вчителями, батьками та учнями) методи досліджень.

Розділ І. Науково-теоретична і методична система досліджень.

1.1 Множини як навчальний предмет у загальноосвітній середній школі.

Нині школи України працюють за навчальними планами, які певною мірою враховують національні особливості нашої держави і нові соціальні вимоги до форм і рівня освіти. Вони від повідають вимогам рівневої і профільної диференціації, потребам індивідуальної та групової роботи з окремими категоріями учнів. Згідно з планом математика вивчається (в основному) 4 год на тиждень в усіх класах, починаючи від 1 до 9 і 3 год - в 10-11 класах, тобто на вивчення математики припадає найбільша кількість годин порівняно з іншим предметами. У варіативній частині плану виділяється резерв годин для індивідуальних та групових занять на вивчення математики. Цей фактор накладає ще більшу відповідальність на вчителя математики за якість математичної підготовки школярів. Цілі навчання математики безпосередньо випливають з цілей завдань загальної середньої освіти, які зазначені у Державній національній програмі "Освіта" ("Україна XXI століття"). Головною метою є подальший всебічний розвиток дитини як цілісної особистості, її здібностей і обдарувань, збагачення на цій основі інтелектуального потенціалу народу, Його духовності й культури, сформування громадянина України, здатного до свідомого суспільного вибору . Отже, всебічний розвиток особистості, створення для цього сприятливих умов - головна мета школи. Мета навчання і виховання підпорядковані розвитку і виступають як загальні форми, засоби розвитку. Виходячи із зазначеного, можна сформулювати основні цілі навчання математики в школі:

)розумовий розвиток учнів - розвиток логічного мислення й інтуїції" просторових уявлень і уяви, пам'яті, алгоритмічної та інформаційної культури як особливого аспекту культури мислення; формування позитивних якостей особистості - розумової активності, пізнавальної самостійності, пізнавального інтересу, потреби в самоосвіті, здатності адаптуватися до умов, що змінюються, ініціативи, творчості;

)забезпечення свідомого і міцного оволодіння системою математичних знань, навичок і умінь, потрібних у повсякденному житті і майбутній трудовій діяльності кожному членові сучасного суспільства, достатніх для вивчення інших дисциплін, продовження освіти в системі безперервної освіти; формування уявлень про ідеї і методи математики та її роль у пізнанні навколишнього світу, формування навичок математизації ситуацій під час досліджень різних явищ природи і суспільства;

)формування наукового світогляду, загальнолюдських духовних цінностей; виховання національної самосвідомості, поваги до національної культури і традицій України; формування позитивних рис характеру (чесності й правдивості, наполегливості; волі, культури думки і поведінки, обґрунтованості суджень, відповідальності за доручену справу тощо); естетичне, екологічне, економічне, патріотичне, трудове виховання, професійна орієнтація на виховання здорового способу життя.

Множини вивчаються в загальноосвітній школі в одинадцятому класі. На дану тему виділено шкільною програмою 8 годин. Тема має назву:"Елементи комбінаторики". Метою є: ввести поняття множини та її елементів, ознайомити з видами множин та операціями над ними. Навчитись виконувати зазначені операції.

Програма для класів із поглибленим вивченням математики на тему "Множини. Елементи математичної логіки. Комбінаторика " виділяє у восьмому класі 12-17 годин, в дев’ятому - 17 -20 годин.

Під час вивчення теми " Множини і відношення" учні повинні знати: означення перерізу, об'єднання, різниці, доповнення множин, впорядкованої множини; учні повинні вміти: задавати множини основними способами: утворювати підмножину даної множини, знаходити об’єднання, переріз, різницю даних множин.

Якщо навчальним планом школи передбачена інша кількість годин для поглибленого вивчення математики, то вчитель самостійно здійснює та обґрунтовує модифікацію даної програми та тематичне планування відповідно до вибраного підручника з урахуванням підготовленості класу, інтересів учнів.

Розділ II. Методика викладання множин і відношень в сучасній школі

2.1 Поняття множини. Елемент множини. Порожня множина

Теорія множин як галузь математики виникла порівняно недавно - в середині ΧІΧ століття. ЇЇ засновником є німецький математик Георг Кантор (1845 - 1918).

Основним поняттям в теорії множин є поняття множини. Воно первісне, тобто неозначуване, але його зміст можна розкрити шляхом опису, з допомогою конкретних прикладів. У повсякденному житті термін „множина" має ряд синонімів: сукупність, колекція, клас, ансамбль, група і ін. Наприклад, множина квітів у вазі - „букет", множина птахів, що пролітають одночасно, - „зграя", множина овець - „отара" і т.п.

В математиці термін „множина" також має ряд синонімів. Так, замість „множина значень змінної" говорять область значень змінної, „множина двох рівнянь" - „система двох рівнянь", „множина кривих" - „сім’я кривих" тощо.

Отже, під множиною розуміють сукупність певних об’єктів, які мають деяку спільну ознаку чи властивість. (Останнє речення не слід вважати означенням множини, бо, як уже вказувалось, це поняття неозначуване).

Об’єкти, з яких складається множина, називаються її елементами. Множини прийнято позначати великими буквами латинського алфавіту

(А,В,С, ...), а елементи множин - малими буквами цього ж алфавіту (а,в,с, ...).

Якщо деякий елемент х належить множині А, то це записують так:

х є А; якщо ж деякий елемент у не належить множині В, то це записують так: у  В, або у  В (Знак „є" читається „належить").

Якщо множина складається із скінченного числа елементів, то її називають скінченною множиною. Наприклад, множина цифр десяткової системи числення є скінченною, оскільки складається з десяти цифр, що є її елементами. Якщо множина складається із нескінченного числа елементів, то її називають нескінченною. Якщо множина не містить жодного елемента, то вона називається порожньою і позначається символом .

2.2 Способи задання множин

Задати множину - означає охарактеризувати її елементи так, щоб відносно будь-якого об’єкта можна відразу встановити, чи належить він даній множині, чи ні.

Є два способи задання множин: перелік і опис. Якщо деяка скінченна множина А вміщує, наприклад, 4 елементи а, в, с, d, то це записують так: А = { а, в, с, d } і читають: „ А - множина, елементи якої а, в, с, d". Описом можна задати скінченну і нескінченну множини. Задати множину описом означає вказати характеристичну властивість елементів множини. Наприклад, множина А натуральних чисел, менших 6. Ця множина задана описом, тому що вказана характеристична властивість всіх елементів множини, а саме бути натуральним числом і меншим від числа 6. В символічній формі задання цієї множини переліком можна записати так: А = { 1, 2, 3, 4, 5}, а задання описом так:

А = { х / х є N  х < 6 } або

А = { х / х є N, х < 6 }.

Знак „ " читається „ і". Все співвідношення читають так: „ множина А складається з таких елементів, кожен з яких є натуральним числом, яке менше 6".

2.3 Відношення між множинами

Відношення включення

Якщо всі елементи множини В є також і елементами множини А, то говорять, що множина В включається в множину А, або множина В є підмножиною множини А. Символічно це записують так: В  А. І читають В є підмножиною множини А. Це означає, що множина В перебуває у відношенні включення з множиною А.

Якщо кожний елемент непорожньої множини В належить до множини А, але множина А містить принаймні один елемент, який не належить множині В, то множина В називається власною підмножиною множини А. Це записується так: В  А. (Знак  називається знаком строгого включення). Цей запис читають так: В є власною підмножиною множини А. Наприклад, множини В = { 1, 2 }, С = { 1, 2, 3 }, Д = { 1 }, Е = { 2, 4 } є власними підмножинами множини А = { 1, 2, 3, 4 }.

Крім власних підмножин, кожна непорожня множина А має дві невласні підмножини: порожню множину () і саму себе. В символічній формі це записують так:  А і А  А.

Таким чином, непорожня неодноелементна множина А має дві невласні підмножини /  і А / і кілька власних підмножин.

) рефлексивність: А  А, тобто кожна множина включається в саму себе;

) антисиметричність / стосується відношення строгого включення / :

А  В  В  А, тобто якщо множина А є власною підмножиною множини В, то множина В не є власною підмножиною множини А;

) транзитивність:

А  В  В  С  А  С, тобто якщо множина А є власною підмножиною множини В, а остання є власною підмножиною множини С, то множина А є власною підмножиною множини С.

Множини зображають внутрішніми точками круга або замкнутого криволінійного контура без точок самоперетину, наприклад,

Таке зображення називають кругом Ейлера або діаграмою Ейлера- Венна.

Відношення строгого включення ілюструють так: А  В

Властивість транзитивності цього відношення ілюструється так:

Відношення рівності

Якщо множина А є підмножиною множини В і навпаки, множина В є підмножиною множини А, то множини А і В рівні. Символічно це можна записати так: А  В  В  А  А = В.

Іншими словами, це означає, що в множині В не існує жодного елемента який не належав би множині А, або ж, що множини А і В складаються з одних і тих самих елементів.

Рівними можуть бути не лише множини, задані переліком одних і тих самих елементів, але й множини, які задані описом, причому для них вказані різні характеристичні ознаки. Наприклад, множина А - прямокутників з рівними сторонами дорівнює множині В - ромбів з рівними діагоналями, оскільки вони обидві виражають множину квадратів. Відношення рівності має властивості:

а) рефлексивність: А = А

б) симетричність: А = В  В = А

в) транзитивність: А = В  В = С  А = С.