Курсовая работа (т): Процес діяльності вчителя і учня при вивченні множин і відношень

Покажемо цей спосіб, виконуючи розбиття множини натуральних чисел за подільністю на 2, а потім за подільністю на 3.

В символічній формі кожен з класів запишеться так:

 = { х є N / х  2  х  3},

 = { х є N / х  2  },

 = { х є N /   х  3},

 = { х є N /   },

Класифікації широко використовуються не лише в математиці, а й в інших науках, зокрема в біології, хімії і ін.

Так, наприклад, ще в 1735 р. Карл Лінней опублікував працю „Система

природи", в якій наведено класифікацію рослинного і тваринного світу (на типи, класи, роди, види тощо).

2.10 Означення різниці двох множин

Різницею двох множин А та В називають множину, яка складається з тих елементів множини А, які не належать множині В. Цю множину позначають символом А \В. Отже, А \ В = { х / х є А  х  В}.

Аналогічно В \ А = { х / х є В  х  А }.

Наприклад:

А = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 },  А \В = { 1, 2, 3},

В= { 4, 5, 6, 7, 8, 9, }, В \ А = { 8, 9, }.

Очевидно, що А \В  В \ А.

Зображення різниці двох множин з допомогою кругів Ейлера

1.                                      Якщо множини А та В мають деякі спільні елементи, тобто А  В   , то різниця множин А та В ілюструється такою діаграмою:

А \В = { х / х є А  х  В}.

2.                                      Якщо множини А та В не мають спільних елементів, тобто

А  В =  , то А \ В = А; В \ А = В.

Якщо множина В є підмножиною множини А ( В  А ), то різницю А \ В називають доповненням множини В до множини А і позначають , тобто  А \ В =  і зображають так:

Область, заштрихована на діаграмі, відповідає множині А \ В, або .

4. Якщо розглядається різниця універсальної множини u і довільної її підмножини А, тобто u \ А, то її називають доповненням до універсальної і позначають .  = { х / х  А }.

2.11 Доповнення до об’єднання і перерізу множин

Доведемо, що доповнення до перерізу двох множин дорівнює об’єднанню доповнень цих множин, тобто  =   .

За означенням доповнення маємо:  = { х / х  (А  В)}, але х  (А В)

тоді, коли х  А або х  В.

Останнє означає, що якщо х є  або х є , то за означенням операції об’єднання виходить, що х є   .

Отже, { х / х  А  В } = { х / х є    },

або ж  =    ( 1 ).

Аналогічно можна довести й те, що доповнення до об’єднання двох множин дорівнює перерізу доповнень до цих множин, або

Рівності ( 1) і ( 2 ) називають правилами де Моргана ( по імені шотландського математика і логіка Августуса де Моргана ( 1806 - 1871 ), який вперше сформулював їх на мові логіки висловлень ).

Ці закони можна довести і з допомогою діаграм Ейлера - Венна,

проілюструвавши окремо ліву і праву частини рівності.

Проілюструємо рівність ( 2 ).  =   .

2.12 Числові множини

Елементами множини можуть бути предмети довільної природи. В математиці розглядаються найчастіше множини, елементами яких є математичні об’єкти ( числа, точки, рівняння, функції і т.п. ).

Множини, елементами яких є числа, називаються числовими множинами.

В математиці прийнято певні числові множини позначати так:

N - множина натуральних чисел,

Z - множина цілих чисел,

Q - множина раціональних чисел,

R - множина всіх дійсних чисел.

Співвідношення між ними зображається діаграмою Ейлера - Венна.

  Z  Q  R

Розділ ІІІ. Система задач для вивчення множин і відношень в сучасній школі

Розглянемо запитання та усні вправи для засвоєння поняття множин:

1)      Назвіть основні способи задання множини.

2)      Наведіть приклади множин. (Скінченних і нескінченних).

3)      Як позначається належність і не належність елемента множині?

4)      Як називається множина, яка не містить жодного елемента? Як її позначають?

5)      Які множини називаються рівними? Навести приклади рівних множин.

6)      Що називається підмножиною множини?

7)      Що називається перерізом двох множин? Навести приклад і записати його символічно.

8)      Що називається об’єднанням двох множин? Навести приклад і записати його символічно.

9)      Що називається різницею двох множин?Навести приклад і записати його символічно.

Усні вправи:

)Дано множину зірок - А, множину квітів - В, множину учнів класу - С, множину дерев лісу - Е. Назвіть серед них скінченні і не скінченні множини.

) Як читається множина :

а) ,

б) .

) Назвати всі підмножини множини .

)Записати множину А, яка має такі елементи: 1,5,2,3,8.

) Наведіть приклади скінченних і не скінченних множин.

Вправи

)Нехай А - множина всіх дільників числа 32, тобто  а В - множина всіх дільників числа 24 , тобто . Знайти переріз множин А і В.

Відповідь:

2)Множина  а множина .Знайти об'єднання цих множин.

Відповідь:

)Множина  а множина .Знайти різницю цих множин.

Відповідь:

4)Записати множину А, елементи якої є натуральні числа дільники числа 24, використовуючи символічні записи характеристчної властивості і переліку елементів множини.

Відповідь:, .

) Дано множини: , , , . Знайти:

а);

б);

в).

) Зобразити на числовій осі наступні множини: , ,  .

)Встановити в якому співвідношенні знаходяться множини А і В . Якщо:

а) А - множина парних чисел,

С - множина чисел, кратних 7;

б) А - множина парних чисел,

В - множина чисел, кратних 4;

в) А - множина парних чисел,

В - множина не парних чисел.

Розв’язування. а) Множини А і С перетинаються, так як містять спільні елементи -парні числа, кратні 7. Ален жодне із них не є підмножиною другого: серед парних чисел є числа, не кратні 7, а серед кратних 7 є такі , які не є парними, наприклад 49. За допомогою кругів Ейлера дані множини можна зобразити наступним чином (мал.1) :

б)Множини А і В перетинаються, так як містять спільні елементи - парні числа, кратні 4 . більше того множина В є підмножиною множини А , оскільки всяке число, кратне 4, є парним . За допомогою кругів Ейлера дані множини можна зобразити наступним чином(мал.4)

в) Так як множини А і В не мають спільних елементів, то вони не перетинаються. Тому на кругах Ейлера їх зображають як на малюнку 5.

)Дано множину . Записати підмножини множини А, які складаються із чисел:

а)діляться на 4;

б)діляться на 9;

в)діляться на 5.

Розв’язування. а)Користуючись ознакою подільності на 4, встановимо, що на 4 діляться 72, 56, 324. Позначивши цю множину літерою В, отримаємо: , .

б) Із даних чисел на 9 діляться: 72, 513, 117, 324. позначимо цю множину літерою С, отримаємо:, .

в) Жодне з чисел, яке належить множині А, не ділиться на 5. Звідки слідує, підмножина чисел, кратних 5, порожня.

) А - множина натуральних чисел, кратних 3, В -множина натуральних чисел, кратних 7. Задати множини і  і вияснити, які з чисел 42, 15, 70, 26 їм належать .

Розв’язування. Згідно визначення, перетин даних множин А і В складається із натуральних чисел, кратних 3 і 7 одночасно, тобто множина складається із чисел, кратних 21. Так як 42:3 і 42:7, то число 42 міститься в перетині множин А і В, тобто . Число 15 не належить цьому перетину, так як воно не ділиться на 7, . Число 70 не ділиться на 3 , тому воно також не належить перетину множин, . Число 26 ділиться на 3, але не ділиться на 7, тому воно не належить перетину множин А і В, .

) А - множина натуральних чисел, кратних 3, В -множина натуральних чисел, кратних 7. Задати описом характерні властивості множини  і назвати три числа,які належать цій множині.

Розв’язування. Згідно визначенням різниця даних множин А і В складається із натуральних чисел, кратних 3 і не кратних 7. Наприклад, різниці множини А і В належать числа 9, 24 і 30 - всі вони кратні 3 і не кратні 7.

) Довести, що для будь-яких множин А і В справедлива рівність

Доведення.

Відомо, що Застосуємо цю формулу до виразу . Отримаємо: . Але оскільки , то маємо  Таким чином,