Курсовая работа (т): Процес діяльності вчителя і учня при вивченні множин і відношень

Відношення перерізу

Якщо деякі елементи множини А є одночасно й елементами множини В, причому в кожній з цих множин є елементи, які не належать іншій множині, то говорять, що множини А і В перебувають у відношенні часткового включення, або у відношенні перерізу.

Множину, що складається з елементів, які належать одночасно обом множинам (спільну частину множин), називають перерізом даних множин.

В символічній формі переріз множин записують так:

А  В = { х / х є А  х є В }.

На діаграмі переріз зображають так:

2.4 Універсальна множина

Якщо деяка множина вичерпує всі елементи певної природи у заданому масштабі, то її називають універсальною і позначають символом u, а на діаграмі зображають точками прямокутника. Всі інші множини, утворені з елементів універсальної множини, є її підмножинами. Наприклад, якщо u - множина студентів інституту, то множини А - студентів педагогічного факультету, В - студентів першого курсу, С - студентів - заочників та інші є підмножинами універсальної множини u. Поняття універсальної множини має відносний характер. Деяка універсальна множина може бути підмножиною іншої універсальної множини.

.5 Геометрична фігура

В сучасному курсі математики геометричною фігурою називають будь - яку непорожню множину точок.

Отже, пряма, відрізок, промінь, трикутник тощо - все це геометричні фігури. Оскільки множина може складатись із одного елемента, то і окремо взята одна точка є геометричною фігурою, як і довільна скінченна множина точок. Якщо фігура  є власною підмножиною фігури , то говорять також, що  - частина фігури .

Наприклад, відрізок АВ - частина прямої АВ.

2.6 Круги Ейлера

Як уже вказувалось, множини зображають внутрішніми точками круга або замкнутого криволінійного контура без точок самоперетину, тобто діаграмами Ейлера - Венна.

Леонард Ейлер (1707 - 1783) - швейцарський математик, член Петербурзької Академії наук, який майже все життя працював в Росії.

Джон Венн (1834 - 1923) - англійський математик.

З допомогою діаграм Ейлера - Венна наочно зображають відношення між множинами. Так, якщо множини не мають спільних елементів, то діаграма має вигляд:

Якщо множина В є власною підмножиною множини А, тобто множини перебувають у відношенні строгого включення, то діаграма має вигляд:

Якщо множини А і В перебувають у відношенні часткового співпадання або перерізу, то діаграма має вигляд:

2.7 Означення перерізу двох множин

Перерізом двох множин А та В називають таку третю множину, яка складається з тих і тільки тих елементів, які одночасно належать обом множинам. Операцію перерізу позначають так: А  В і читають „А в перерізі з В".

Проілюструємо діаграмами Ейлера -Венна різні випадки перерізу:

1.      А  В =  тоді, коли множини А та В не мають спільних елементів.

2. А  В = { х / х є А  х є В }

3. А  В = А, якщо множина А є власною підмножиною множини В.

Зокрема, А  А = А.

4. Легко переконатись, що переріз будь-якої множини А з порожньою множиною дорівнює порожній множині. А   = .

5. А  u = А.

2.8 Означення об’єднання двох множин

Об’єднанням двох множин А та В називається множина, яка складається з елементів, що належать хоч би до однієї з множин. Операцію об’єднання позначають так: А  В.

Символічно означення об’єднання можна записати так:

А  В = { х / х є А  х є В }

Знак „" означає „або".

Наприклад: А = { 2, 3, 4, 5 }, В = { 4, 5, 6 }.

Тоді А  В = { 2, 3, 4, 5, 6 }.

Як видно з наведеного прикладу, зручно користуватись на практиці „робочим" означенням операції об’єднання множин, а саме:

об’єднанням двох множин А та В називають таку третю множину, до якої належать всі елементи обох множин, причому спільні елементи враховуються лише один раз.

Зображення об’єднання двох множин з допомогою кругів Ейлера

1. А  В = {х / х є А  х є В}

. Якщо А  В = , то об’єднання множин А та В вміщує всі елементи обох множин.

А  В

1.      Якщо А  В, то А  В = В

2.      Легко переконатись, що об’єднання будь-якої множини А з порожньою множиною дорівнює тій самій множині А. А   = А

5. А  А = А 6. А  u = u

2.9 Розбиття множин на підмножини, що попарно не перетинаються

Якщо задано деяку множину М, з якої за ознакою S виділено підмножину А, елементи якої володіють ознакою S, та підмножину В, елементи якої не володіють ознакою S, то говорять, що виконано розбиття множини М на підмножини А та В, які не перетинаються ( не мають спільних елементів), але в об’єднанні становлять множину М. Наприклад, якщо з множини натуральних чисел ( N ) за ознакою „ділитися без остачі на 2" виділити підмножину чисел, які володіють цією ознакою, то утворимо множину парних чисел. З інших елементів множини N утворимо підмножину чисел, які не володіють ознакою S, тобто не діляться без остачі на 2, і називаються непарними. Очевидно, що серед парних чисел немає непарних і навпаки, але множина парних чисел в об’єднанні з множиною непарних чисел становить множину натуральних чисел.

Таким чином, виконано розбиття множини натуральних чисел на парні і непарні за ознакою „ділитися націло на 2". Схематично це розбиття можна зобразити так:

Взагалі, розбиттям множини М на підмножини ,... називається утворення таких непорожніх підмножин , ... за деякою ознакою, які попарно не перетинаються, а в об’єднанні становлять дану множину. В символічній формі це означення можна записати так:

.  , і = 1, 2, ... n  М.

.  = , для всіх і, ј = 1, 2, ... n, і  ј.

.   ...  =   = М.

Розбиття множини М ще називають класифікацією. Якщо в результаті розбиття одержується 2 підмножини ( класи ), то класифікацію називають діхотомічною. Якщо в результаті розбиття утворюється 3 і більше класів, то класифікація недіхотомічна. Прикладом недіхотомічної класифікації є розбиття множини опуклих чотирикутників за кількістю пар паралельних сторін на 3 класи:

) паралелограми ( 2 пари паралельних сторін );

2)      трапеції ( 1 пара паралельних сторін );

3) чотирикутники з непаралельними сторонами ( 0 пар паралельних сторін).

Класифікації ілюструють схемами, приклад якої наведено вище та діаграмами Ейлера - Венна. Наприклад, за наведеною схемою класифікації натуральних чисел побудуємо діаграму:

Круг N зображає множину натуральних чисел, круг Р - множину парних чисел, а заштрихована на діаграмі область - множину непарних чисел. Класифікацію можна виконувати і за двома ознаками одночасно. Тоді говорять, що виконано розбиття за ознакою кон’юнктивної структури, бо кожен об’єкт кожного класу характеризується одночасно двома ознаками (наявністю чи відсутністю обох, або хоч би однієї ).

Наприклад, з множини М за ознакою  виділяють два класи А і , елементи яких характеризуються відповідно наявністю та відсутністю ознаки .

Аналогічно за другою ознакою  виділяють класи В і .

Після чого розглядають всі можливі перерізи класів А, , В, , внаслідок чого дістають 4 різних класи, елементи яких характеризуються наявністю чи відсутністю ознак  і  а саме:

А  В = { х є М /  (х)   (х) } = .

( Читаємо клас А  В складається з тих елементів множини М, яким властива ознака  і ознака  ).

А   ={ х є М /  (х)   } = .

Очевидно, що елементи класу  характеризуються наявністю ознаки  і відсутністю ознаки .

Аналогічно:

  В = { х є М /    (х) } = .

   = { х є М /    = .

Клас  вміщує елементи, для яких обидві ознаки  і  не виконуються. Проілюструємо цю класифікацію діаграмою.

На діаграмі цифрою (1) позначено клас , цифрою (2) - клас , цифрою (3) - клас , цифрою (4) - клас . Розбиття за двома ознаками зручно виконувати так: спочатку виконати розбиття множини на класи за першою ознакою, а потім кожен з одержаних класів розбити за другою ознакою.