Материал: Распространение монохроматических волн в нелинейных средах (110

порядка длины волны, т.е. амплитуды волн будут медленно изменяющимся функциями координат. В соответствии с этим представим поле и поляризацию среды в виде

нормальных волн. Подставляя в уравнение Гельмгольца (1.27) выражения

(2.10) и (2.11), получаем

преобразования, получаем систему укороченных уравнений для амплитуд, зависящих от пройденного расстояния z:

16

взаимодействия волн, так как он определяет знак работы внешней силы – волны нелинейной поляризации возбуждения поля. Наиболее эффективное взаимодействие будет осуществляться, если этот множитель равен единице, при этом величина работы имеет один знак на протяжении нелинейной среды. При условии

скорости волны нелинейной поляризации на той же самой частоте, т.е. , . Соотношение (2.16) принято называть условием фазового синхро-

низма.

Если условие синхронизма заведомо не выполнено, то множитель

влияет на распространение волн: эффект взаимодействия может быть малым. В диспергирующей среде условию синхронизма (2.16) может удовлетворять лишь небольшое число волн, которые и участвуют во взаимодействии. Амплитуды остальных волн на комбинационных частотах настолько малы, что ими можно пренебречь.

Итак, задача о распространении волн в слабо нелинейных средах сводится к решению системы укороченных уравнений (2.15) для комплексных амплитуд волн, волновые векторы которых удовлетворяют или почти удовлетворяют условию фазового синхронизма (2.16).

17

Рассмотрим далее с помощью этого метода несколько основных задач из теории нелинейных волн по взаимодействию и самовоздействию.

3. Генерация второй гармоники

Пусть имеется среда, обладающая квадратичной нелинейностью, и на её границу падает плоская монохроматическая волна частоты . В такой среде возможен процесс генерации второй гармоники. Будем считать, что другими нелинейными эффектами (самовоздействием, генерацией высших гармоник, детектированием и т.д.) можно пренебречь. Тогда в среде рас-

укороченными уравнениями (2.15) с учётом выражений (3.1) и (3.2). При

– показатель преломления,

Умножим первое уравнение на , а во втором применим комплексное сопряжение к обеим частям, а потом умножим их на , затем сложим получившиеся выражения. Получим:

Когда отсутствует диссипация и нет притока энергии извне, должен выполняться закон сохранения общей энергии волны:

Видно, что при этом коэффициенты нелинейности равны друг другу:

основе решения укороченных уравнений (3.3) и (3.4). На входе в нелиней-

Проанализируем сначала генерацию гармоники в условиях, когда её амплитуда мала по сравнению с амплитудой основной волны, | | | |. В этом случае можно пренебречь слабым обратным влиянием гармоники на основную волну, положив правую часть в (3.3) равной нулю. Тогда, очевидно, в рассматриваемом приближении амплитуда основной волны не

19

На длине нл можно ожидать значительную перекачку энергии основной волны в энергию второй гармоники при фазовом синхронизме.

При рассогласовании фазовых

Рис. 1. Зависимость амплитуды второй гармоники| скоростей, , от расстояния в заданном поле основной волны

20