Материал: Распространение монохроматических волн в нелинейных средах (110

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

наблюдаются пространственные биения амплитуды второй гармоники
	рис. 1, кривая 2). Длина, на которой амплитуда гармо-
\|ники\| ~достигает\| /2первого\|(		максимума,		называется			длиной	когерентного
взаимодействия и равна:		2 \|	\|		4\|	\|	.
ког								(3.14)

Максимум амплитуды второй гармоники на этой длине равен:

, | |. (3.15)

Пользуясь простыми формулами, полученными выше, можно дать ответ на важный вопрос в теории нелинейных волн: при какой дисперсии амплитуда второй гармоники остаётся много меньше амплитуды основной волны, т.е. при какой дисперсии нелинейный процесс генерации второй гармоники является слабым. Потребовав, , , находим из (3.15) условие,

налагаемое на сильную дисперсию нелинейной среды:

\|	\|		,	ког	нл.	(3.16)

Последнее неравенство имеет фундаментальное значение, так как оно позволяет дать количественную характеристику сильно диспергирующей нелинейной среды (по отношению к взаимодействию волн). Если выполняется обратное неравенство

\|	\|		,	ког	нл,	(3.17)

то среда является слабо диспергирующей и возможно эффективное возбуждение гармоники с большой амплитудой, порядка начальной амплитуды основного излучения . Неравенства (3.16) и (3.17) можно обобщить и на случай генерации высших гармоник.

Когда амплитуда второй гармоники становится сравнимой с амплитудой основной волны, приближение заданного поля непригодно и

необходимо решать полную систему уравнений (3.3) и (3.4). Для удобства представим комплексные амплитуды в виде:

(3.18)

, 1,2.

Подставляя (3.18) в уравнения (3.3) и (3.4), получаем:

, (3.19)

. (3.20)

Приравнивая действительные части, получаем:

		2				,	(3.21)
		2				,	(3.21)
		2				.	(3.22)
Для мнимых частей имеем:		2				.	(3.22)
		2				,	(3.23)
		2				,	(3.23)
							(3.24)
	2	2				.	(3.24)
		2				.
Обозначая				, окончательно получаем систему уравне-
ний:					n ,
							(3.25)
							(3.25)
				,			(3.26)
				,			(3.26)
			2				(3.27)
			2				(3.27)
Выпишем также с учётом граничных условий (3.8)						.законы сохранения, ко-

торые являются интегралами движения для взаимодействующих волн:

,	(3.28)
	(3.28)
22

			фазового синхронизма,									(3.29)
При выполнении условий			фазового синхронизма,							, система уравне-
При выполнении условий			2						.
ний (3.25)–(3.27) сильно упрощается. Из (3.29) видно, что0при												имеем
и	. В итоге при синхронном взаимодействии										волн на
и	. В итоге при синхронном взаимодействии										0
основной0и удвоенной1		частотах уравнения для их амплитуд (3.25) и (3.26)
принимают вид				,
												(3.30)
												(3.30)
					.							(3.31)
					.							(3.31)
Используя закон сохранения полной энергии										, можно про-
интегрировать эти уравнения:
							,					(3.32)
					нл		,	,				(3.32)
												(3.33)
						нл						(3.33)

Рис. 2. Поведение амплитуд при полной перекачке энергии основной волны во вторую гармонику

где нл – длина нелинейного взаимодействия, определяемая соотношением (3.13). Зависимости амплитуд от расстояния показаны на рис. 2. По-

лагая в (3.33) нл,

находим, что на нелинейной длине амплитуд второй гармоники достигает относительного уровня 0,76, а интенсив-

ность – уровня 0,58. Из рисунка видно, что при точном согласовании скоростей основной волны и второй гармоники можно получить в принципе при

на	∞
	полное преобразование энергии волны на частоте в энергию волны
	частоте .		возникают периодические простран-
	При	наличии расстройки
		2	0системы (3.25)–(3.27), получаемое при
ственные биения амплитуд. Решение

этом, показывает, что в случае слабой дисперсии (см. условие (3.17)) амплитуда второй гармоники может достигать максимума, почти равного . Если дисперсия велика, то решение аналогично полученному ранее в приближении заданного поля (3.10).

4. Распадная неустойчивость волн. Параметрическое усиление и генерация

Продолжим рассмотрение нелинейных эффектов в среде с квадратичной нелинейностью. В общем случае в одном процессе взаимодействия в такой среде могут участвовать одновременно три волны с частотами

(трёхчастотное взаимодействие), причём

Волны квадратичной поляризации, возбуждаемые.	(4.1)
	в среде на этих частотах,

имеют амплитуды и волновые векторы, равные (см. (1.14), (1.15) и (2.11))

,	,	,	(4.2)
			(4.3)
,	,	,	(4.4)
Подставляя эти выражения в правые части,	,укороченных.		уравнений (2.15),
получаем следующую систему (затухание пока не учитываем):
		,	(4.5)

			,			(4.6)
			,			(4.6)
				,		(4.7)
где	2 ̂ω ω			,	2 ̂ω ω	(4.7)
–	2 ̂ω ω	2 ̂ω ω			2 ̂ω ω	,
–	– .
	Первые равенства означают, как и в случае генерации

гармоники, консервативность взаимодействия волн (см. (3.7)). Чтобы показать это, запишем уравнения (4.5)–(4.7) в виде

,	(4.8)
,	(4.9)
.	(4.10)

Видно, что правые части уравнений (4.8) и (4.9) равны между собой и равны комплексно сопряжённой правой части уравнения (4.10), взятой со знаком «–», поэтому можно приравнять левые части уравнений

							(4.11)
или		\| \|	\| \|	\| \|		.	(4.11)
или
							(4.12)
							(4.12)
Учитывая, что на входе в нелинейную среду волны на частотах							имели
амплитуды	, из (4.12) можно получить три закона сохранения, которые
называются соотношениями Мэнли – Роу:					.
							(4.13)
							(4.13)

Следствием этих соотношений является закон сохранения полной энергии:

. (4.14)

Источник: https://studfile.net/preview/16724142/

Смотрите также:



_1966(~1
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога
"Логистическая технология JIT"
"Особенности правовой системы Российской Федерации" по дисциплине "Теория государства и права"
«Анализ ликвидности и платежеспособности предприятия» (на материалах ОАО Московская кондитерская фабрика «Красный Октябрь»)