Курсовая работа (т): Решение дифференциальных уравнений высших порядков
Из того, что дифференциальное уравнение n-го порядка
(1)
имеет решение, разумеется, не следует, что это решение выражается в квадратурах (например, для уравнений первого порядка такая возможность представляется далеко не всегда).
Оставляя в стороне линейные уравнения, рассмотрим здесь некоторые, наиболее важные типы уравнений, интригуемых в квадратурах или по крайней мере допускающих понижение порядка.
Интегрирование таких уравнений будет происходить путем сведения к
уравнениям низшего порядка. При этом порядки промежуточных уравнений,
называемых промежуточными интегралами, постепенно понижаются, а число входящих
в них произвольных постоянных 
увеличивается.
Интегрирование закончено, когда мы доходим до общего интеграла:
вовсе не содержащего производных и заключающего n произвольных постоянных.
Наиболее простым является тот случай, когда правая часть уравнения
(1) зависит только от x:
Общее решение в этом случае получаем с помощью последовательных
квадратур:
Решение с начальными условиями 
может быть записано в виде:
Впрочем, на практике обычно не используют готовую формулу, а
используют начальные условия, находят значения постоянных постепенно в процессе
интегрирования. 
2
Примеры:
) 
;
.
) 
. Найти решение, удовлетворяющее условиям:
, 
, 
, 
. Интегрируя, находим первый интеграл:
Пользуясь начальными условиями, определяем 
: 1= - 1+; =2; таким образом,
Интегрируем далее:
Используя начальные условия, находим что 
= - 1; таким образом,
Отсюда, наконец,
И так как в силу начальных условий 
= - 1, получаем искомое частное решение:
.
Рассмотрим теперь уравнения вида:
Применяя подстановку 
, получаем:
.
Интегрируя, находим первый (промежуточный) интеграл:
Предполагая возможным решение этого уравнения относительно 
(в элементарных функциях), получаем:
, или 
;
видим, что получили уравнение типа ; 
квадратур дают общее решение:
. 6
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Рассмотрим случаи понижения порядка дифференциальных уравнений.
Укажем два случая, когда дифференциальное уравнение второго
порядка
приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.
Случай 1: пусть
правая часть дифференциального уравнения явно не содержит x,
т.е. уравнение имеет вид:
и 
Получим дифференциальное уравнения первого порядка:
,
Где роль независимой переменной играет 
. 4
Случай 2: пусть
правая часть дифференциального уравнения явно не содержит , т.е. уравнение имеет вид:
полагая здесь:
и 
получим уравнение первого порядка:
с известной функцией p 4.
Пример 1:
Решить уравнение
Согласно случаю 1 полагаем и 
. Тогда уравнение примет вид:
Отсюда:
. 
, т.е. 
, 2. 
, т.е. 
и 
Потенцируя, будем иметь
и следовательно,
После интегрирования получаем
и значит, что
где и - произвольные постоянные. 2
Пример 2:
Найти решение уравнения
удовлетворяющее начальным условиям 
и 
, при 
.
В уравнении полагаем и 
. Тогда
или 
Полученное уравнение - однородное, поэтому применим 
следовательно,
и 
Подставляя в уравнение , будем иметь
отсюда, 
или 
Интегрируя, получаем
И, следовательно,
т.е. 
. 
.
Для определения постоянной используем начальные условия: 
при . Получаем 
т.е. 
и, таким образом,
Отсюда имеем 
и
Постоянную определяем из начальных условий. Полагая и в формуле , получаем 
т.е. 
. Следовательно, искомое частное решение
есть
. 2
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Структура общего решения. Пусть линейное однородное
дифференциальное уравнение
имеет постоянные коэффициенты p и q.
Будем искать частное решение уравнения в форме 
, где k - постоянное число, подлежащее
определению. Из имеем 
и 
.
Подставляя 
в уравнение , получаем
Или, сокращая на множитель 
, который не равен нулю, находим
Квадратное уравнение , из которого определяется k, называется характеристическим уравнением данного линейного уравнения
второго порядка с постоянными коэффициентами.
Заметим, что для написания характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные 
и функцию y заменить на соответствующее степени величины k, рассматривая при этом функцию y как производную нулевого порядка. 1
Определение.
Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n - го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
Определение.
Если из функций yi составить определитель n - го порядка
,
то этот определитель называется определителем Вронского.
(Юзеф Вронский (1776 - 1853) - польский математик и философ - мистик)
Теорема:
Если функции
линейно зависимы, то составленный для них
определитель Вронского равен нулю.
Теорема:
Если функции линейно независимы, то составленный для
них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого
интервала.
Теорема:
Теорема.
Если - фундаментальная система решений на
интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения является линейной комбинацией этих решений.
где Ci - постоянные коэффициенты. 2
Пример:
Решить уравнение 
Это уравнение не является линейным, понизим порядок уравнения с
помощью подстановки .
Тогда 
