Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно–строительный университет»
В.Н. Колпачёв, А.М. Дементьева, В.В. Горяйнов
РЕШЕНИЕ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ФЕДЕРАЛЬНОГО ИНТЕРНЕТ-ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ
Часть 1. Алгебра и геометрия
Учебное пособие
Рекомендовано в качестве учебного пособия научно-методическим советом Воронежского государственного архитектурно–строительного университета
для студентов всех специальностей и направлений подготовки бакалавров
Воронеж 2012
УДК 51(075):378.244.1 ББК 22.1в6я7 К615
Рецензенты:
кафедра алгебры и топологических методов анализа Воронежского государственного университета;
А.Д. Чернышов, д–р физ.–мат. наук, проф. кафедры высшей математики Воронежской государственной технологической академии
Колпачёв, В.Н.
Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена
К615 по математике: учеб. пособие в 3 ч. – Ч.1: Алгебра и геометрия / В.Н. Колпачёв, А.М. Дементьева, В.В. Горяйнов; Воронежский ГАСУ – Воронеж, 2012. – 151 с.
Предлагаемое учебное пособие содержит подробное решение 160 тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике, составленных из таких дидактических единиц, как «Абстрактная алгебра», «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия» и «Дифференциальная геометрия». Даны теоретические сведения по соответствующим разделам. Кроме этого, в пособии приведен критерий оценки результатов тестирования, описаны все формы тестовых заданий, встречающихся в тестировании, представлена методика репетиционного тестирования для студентов и тематическая структура аттестационных педагогических измерительных материалов.
Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов всех специальностей и направлений подготовки бакалавров Воронежского государственного архитектурно– строительного университета при подготовке к федеральному интернет-экзамену по математике, к промежуточной и итоговой аттестации. Также пособие может быть использовано преподавателями для проведения практических занятий со студентами всех форм обучения.
Ил. 59. Табл. 5. Библиогр.: 12 назв.
УДК 51(075):378.244.1 ББК 22.1в6я7
ISBN 978-5-89040-378-0 |
© Колпачёв В.Н., |
|
Дементьева А.М., |
|
Горяйнов В.В., 2012 |
|
© Воронежский ГАСУ, 2012 |
2
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение……………………….………………………………………..... |
5 |
1. Абстрактная алгебра………………………………………………… |
7 |
1.1. Краткие теоретические сведения……………………………….. |
7 |
1.1.1. Элементы теории множеств……………………………… |
7 |
1.1.2. Основные алгебраические структуры…………………… |
9 |
1.1.3.Векторные пространства…………………………………. 11
1.1.4.Линейные отображения…………………………………... 12
1.1.5.Алгебра многочленов……………………………………... 13
1.2. Тестовые задания и их решения………………………………… |
15 |
1.2.1. Основные алгебраические структуры…………………… |
15 |
1.2.2.Бинарные алгебраические операции…………………….. 17
1.2.3.Векторные пространства…………………………………. 19
1.2.4.Линейные отображения…………………………………... 21
1.2.5.Алгебра многочленов……………………………………... 23
2.Линейная алгебра…………………………………………………….. 29
2.1.Краткие теоретические сведения………………………………... 29
2.1.1.Определители. Вычисление определителей…………….. 29
2.1.2.Матрицы…………………………………………………… 31
2.1.3. Системы линейных алгебраических уравнений………… |
34 |
2.1.4. Собственные векторы и собственные значения матрицы |
38 |
2.1.5. Квадратичные формы……………………………………... |
39 |
2.2. Тестовые задания и их решения………………………………… |
40 |
2.2.1.Вычисление определителей………………………………. 40
2.2.2.Матрицы: основные определения………………………... 43
2.2.3.Линейные операции над матрицами……………………... 46
2.2.4.Умножение матриц………………………………………... 48
2.2.5.Обратная матрица…………………………………………. 52
2.2.6.Ранг матрицы……………………………………………… 54
2.2.7.Системы линейных уравнений: основные понятия…….. 57
2.2.8.Системы линейных уравнений: методы решения………. 60
2.2.9. Собственные векторы и собственные значения матрицы 65
2.2.10.Квадратичные формы……………………………………. 67
3.Аналитическая геометрия. Элементы дифференциальной геометрии……………………………………………………………... 69
3.1.Краткие теоретические сведения………………………………... 69
3.1.1.Основные задачи аналитической геометрии на
плоскости………………………………………………….. 69
3.1.2.Полярная система координат…………………………….. 70
3.1.3.Прямая на плоскости……………………………………… 71
3.1.4.Кривые второго порядка………………………………….. 76
3
3.1.5.Прямая и плоскость в пространстве……………………... 81
3.1.6.Поверхности второго порядка……………………………. 90
3.1.7.Кривизна плоской кривой………………………………… 95
3.2.Тестовые задания и их решения ………………………………... 96
3.2.1.Основные задачи аналитической геометрии на
плоскости………………………………………………….. 96
3.2.2.Прямая на плоскости……………………………………… 103
3.2.3.Полярная система координат…………………………….. 115
3.2.4.Кривые второго порядка………………………………….. 120
3.2.5.Основные задачи аналитической геометрии в
пространстве………………………………………………. 124
3.2.6.Прямая и плоскость в пространстве……………………... 126
3.2.7.Поверхности второго порядка
(дифференциальная геометрия поверхностей)…………. 135
3.2.8.Кривизна плоской кривой………………………………… 137
3.2.9.Элементы топологии……………………………………… 138
Заключение………………………………………………………………. 140
Библиографический список…………………..……………………….. 141
Приложение 1. Методика репетиционного тестирования для студентов…………………………………………. 142
Приложение 2. Формы тестовых заданий…………………………… 147
Приложение 3. Тематическая структура аттестационных педагогических измерительных материалов…….. 148
Приложение 4. Критерий оценки результатов тестирования…….. 149
4
ВВЕДЕНИЕ
С 2007 года Воронежский государственный архитектурно-строительный университет участвует в федеральных интернет-экзаменах в сфере высшего профессионального образования (ФЭПО), которые проводит Национальное аккредитационное агентство (Росаккредагентство).
Основной целью проведения интернет-экзамена является оказание помощи вузам при создании систем управления качеством подготовки специалистов на основе независимой внешней оценки. При проведении экзамена используется единый федеральный банк аттестационных педагогических измерительных материалов (АПИМ) и единая технология обработки результатов.
Экзамен проводится в форме компьютерного тестирования и направлен на оценку уровня подготовки студентов на соответствие требованиям государственных образовательных стандартов (ГОС).
Предлагаемое учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов всех специальностей и направлений подготовки бакалавров Воронежского государственного архитектурно–строительного университета при подготовке к федеральному интернет-экзамену по математике и к промежуточной и итоговой аттестации. Также пособие может быть использовано преподавателями для проведения практических занятий со студентами всех форм обучения.
Пособие содержит подробное решение 160 тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике, составленных из таких дидактических единиц, как «Абстрактная алгебра», «Линейная алгебра», «Аналитическая геометрия» и «Дифференциальная геометрия», а также краткие теоретические сведения по соответствующим разделам, которые предназначены для того, чтобы освежить в памяти студентов ключевые вопросы изученного ранее материала.
Приведенные в пособии примеры тестовых заданий встречались среди АПИМ при тестировании студентов и в демонстрационных материалах (демовариантах) на сайте ФЭПО (http://www.fepo.ru). Количество тестовых заданий, разобранных в учебном пособии, охватывает все темы, которые могут встретиться на тестировании. Но у студентов различных специальностей (направлений подготовки бакалавров) будут присутствовать только те, которые указаны в демоварианте по соответствующей специальности (направлению подготовки бакалавров). Поэтому при подготовке к тестированию в первую очередь студенту нужно обратить внимание именно на эти темы тестовых заданий. Кроме того, следует учесть, что для каждой специальности (каждого направления подготовки бакалавров) демоварианты изменяются два раза в год (весной и осенью). Поэтому пользоваться нужно только обновленными демовариантами.
5