Материал: Решение тестовых заданий федерального интернет-экзамена по математике. Часть 1. Алгебра и геометрия. Колпачёв В.Н., Дементьева А.М
Вучебном пособии тестовые задания приводятся в том виде, который представлен студентам на экране монитора во время тестирования. Слева от вертикальной черты находятся условия заданий, справа – варианты ответа.
Вприложениях к учебному пособию описана методика репетиционного тестирования для студентов, формы тестовых заданий, критерий оценки результатов тестирования и тематическая структура аттестационных педагогических измерительных материалов
Входе работы над пособием авторы пользовались советами, высказанными д.т.н., проф. Т.В. Самодуровой, д.ф.–м.н., проф. А.А. Седаевым и к.ф.–м.н., ст. преп. В.К. Евченко.
6
1.АБСТРАКТНАЯ АЛГЕБРА
1.1.Краткие теоретические сведения
1.1.1. Элементы теории множеств
Операции над множествами
Определение 1.1. Объединением двух множеств A и B называется множество, обозначаемое A B (рис. 1.1), где
A B ={x : x A или x B}.
Определение 1.2. Пересечением двух множеств A и B называется множество, обозначаемое A ∩ B (рис. 1.2), где
A ∩ B ={x : x A и x B}.
Определение 1.3. Разностью двух множеств A и B называется множество, обозначаемое A \ B (рис. 1.3), где
A \ B ={x : x A и x B}.
Определение 1.4. Если A – подмножество множества X (A X ), то множество X \ A называют дополнением множества А до множества Х и обо-
значают A .
Определение 1.5. Симметрической разностью двух множеств A и B на-
зывается множество, обозначаемое A B (рис. 1.4), где
A B =(A\ B) (B \ A).
B |
B |
A |
A |
Рис. 1.1 |
Рис. 1.2 |
B |
B |
A |
A |
Рис. 1.3 |
Рис. 1.4 |
Определение 1.6. Пусть X1 и X 2 |
два непустых множества. Декартовым |
7
произведением этих множеств называется множество, обозначаемое X1 × X2 , |
||
всех упорядоченных пар (x1, x2 ), где x1 X1 , x2 X2 , т.е. |
|
|
X1 × X 2 ={(x1, x2 ): x1 X1 , x2 X 2}. |
|
|
Определение 1.7. Пусть X – непустое множество. Пусть R – некоторое |
||
подмножество произведения X × X |
(R X × X ). Тогда |
R называется бинар- |
ным отношением на множестве X . |
Если пара (x, y) R , |
то пишут x R y и го- |
ворят, что элемент x находится в отношении R с элементом y .
Отображение множеств и классификация отображений
Определение 1.8. Пусть X и Y – два непустых множества. Отображением f множества X в множество Y называется правило, по которому каждо-
му элементу x X ставится в соответствие некоторый элемент y Y .
В этом случае пишут f : X →Y , или X →Y , или y = f (x). Отобра- |
||
|
f |
|
жения называют также функциями, преобразованиями, операторами. |
Если |
|
y = f (x), то элемент y |
называют образом элемента x при отображении f |
. Со- |
ответственно элемент x |
называют прообразом элемента y . Заметим, что образ |
|
y элемента x единственный, а прообразов у элемента y может быть много. |
|
|
Определение 1.9. Отображение f : X →Y называют сюръективным, ес- |
||
ли для любого y Y существует хотя бы один x X , такой что y = f (x). |
|
|
Определение 1.10. Отображение f : X →Y называют инъективным, ес- |
||
ли из равенства f (x1 )= f (x2 ) следует, что x1 = x2 , т.е. разные элементы множе-
ства X отображаются в разные элементы множества Y . Такое отображение на-
зывают также взаимно однозначным.
Определение 1.11. Отображение f : |
X →Y называют биективным, если |
|
оно инъективно и сюръективно. |
|
|
Определение 1.12. Пусть |
f : X →Y |
– биективное отображение. Тогда |
для любого y Y существует |
единственный элемент x X , такой что |
|
y = f (x). Это значит, что каждому y Y поставлен в соответствие некоторый x X , т.е. задано отображение множества Y в множество X . Это отображение называют обратным к отображению f и обозначают f −1 , т.е. x = f −1 (y).
8
Определение 1.13. Множества X и Y называют эквивалентными или изоморфными, если существует биективное отображение f : X →Y .
Определение 1.14. Эквивалентные множества называют множествами, имеющими одинаковую мощность.
Определение 1.15. Множество, эквивалентное множеству N натуральных чисел, называют счетным.
Определение 1.16. Множество, эквивалентное множеству точек отрезка
[0; 1], называют множеством мощности континуума.
1.1.2. Основные алгебраические структуры
Алгебраические операции
Определение 1.17. Пусть S – непустое множество. Говорят, что на S задана алгебраическая операция (бинарная операция или внутренний закон композиции), если задано отображение ϕ : S ×S → S , т.е. каждой паре элементов
(a, b) из S по некоторому правилу ставится в соответствие определенный элемент из S . Этот элемент обозначают ϕ(a, b), или aϕb , или a b . Наиболее
распространены мультипликативная форма записи ϕ(a, b)= ab |
и аддитивная |
форма записи ϕ(a, b)= a +b . В первом случае a и b называют сомножителями |
|
и ab – произведением, а во втором a и b – слагаемыми, а (a +b) |
– суммой. |
Определение 1.18. Пусть множество S1 S и на множестве S задана бинарная операция ϕ(a, b). Говорят, что множество S1 замкнуто относительно
операции ϕ , если для любых a S1 и b S1 ϕ(a, b) S1 . |
|
|
Определение 1.19. Множество вместе с заданными на нем бинарными |
||
операциями называют алгебраической структурой. |
|
|
Группы, кольца, поля, алгебры |
|
|
Определение 1.20. Множество G |
с заданной бинарной |
операцией |
ϕ : G ×G →G (обозначают ϕ(x, y)= x y |
и называют умножением) |
называют |
группой, если справедливы свойства:
9
●x(yz)=(xy)z – ассоциативность;
●существует элемент e G , называемый единицей, такой что xe = ex = x для любого x G ;
●для любого x G существует элемент y G такой, что xy = yx = e ( y –
элемент, обратный к элементу x ).
Определение 1.21. Группа G называется абелевой, если для любых x G и y G выполнено условие xy = yx (перестановочность).
В абелевой группе бинарная операция чаще называется сложением ( x y = x + y ). Соответственно единица группы называется нулевым элементом
(обозначается 0), а обратный элемент к элементу x называется противоположным к x и обозначается “ −x ”.
Определение 1.22. Множество A , на котором заданы две алгебраические операции, называемые соответственно сложением (a +b) и умножением (ab),
называется кольцом, если выполнены условия:
● A – абелева группа относительно сложения; ● справедливы равенства
a(bc)=(ab)c , (a +b)c = ac +bc , c(a +b)= ca +cb
для любых элементов a, b, c A ;
● если A содержит единицу e (ea = ae = a для a A), то e ≠ 0 .
Определение 1.23. Кольцо, содержащее единицу e , в котором все ненулевые элементы имеют обратные и выполнен перестановочный закон относительно умножения (xy = yx), называется полем.
Обычно элементы поля называют числами и единица поля обозначается 1.
Число вида a b−1 обозначается |
a . |
|
|
|
b |
Определение 1.24. Пусть K и X два непустых множества. Отображение |
||
f : K × X → X |
называется внешним законом композиции на множестве X . |
|
Элемент f (α, |
x), α K , x X |
обозначают αx . |
Определение 1.25. Кольцо A называют алгеброй над полем K , если на кольце A задан внешний закон композиции f : K × A → A, при этом для лю-
бых a, b X и любых α, β K выполнены условия:
● (α + β)a =αa + βa ;
10