Курсовая работа (т): Решение задач линейной алгебры в Ms Excel

Однако при применении компьютера удобнее использовать более общий подход - метод наименьших квадратов.

.1 Алгебраический метод наименьших квадратов

Под алгебраическим методом наименьших квадратов понимается метод решения систем линейных уравнений

Ax∼= B (1.1)

путем минимизации евклидовой нормы

‖Ax − b‖ → inf . (1.2)

3.1.1 Анализ данных эксперимента

Рассмотрим некоторый эксперимент, в ходе которого в моменты времени

<<... <

производится, например, измерение температуры Q(t). Пусть результаты измерений задаются массивом

, , ..., .

Допустим, что условия проведения эксперимента таковы, что измерения проводятся с заведомой погрешностью. В этих случаях закон изменения температуры Q(t) ищут с помощью некоторого полинома

(t) = + + + ... +,

определяя неизвестные коэффициенты , , ..., из тех соображений, чтобы величина E(, ...,), определяемая равенством

гаусс алгебраический exel аппроксимация

E(,...,) =

Если заменить P(t) его выражением, то получим

=

Поставим задачу определения массива так, чтобы величина была минимальна, т.е. определим массив методом наименьших квадратов. Для этого приравняем частные производные пок нулю:

Если ввести m × n матрицу A = (), i = 1, 2..., m; j = 1, 2, ..., n, где

=, i = 1, 2..., m; j = 1, 2, ..., n,

то выписанное равенство примет вид

 (k=1,2,…,n)

 (k=1,2,…,n)

Перепишем написанное равенство в терминах операций с матрицами. Имеем по определению умножения матрицы на столбец

Для транспонированной матрицы аналогичное соотношение выглядит так

Введем обозначение: i -ую компоненту вектора Ax будем обозначать В соответствии с выписанными матричными равенствами будем иметь

=

(k=1,2,…,n)

В матричной форме это равенство перепишется в виде

A^Tx=A^TB (1.3)

Здесь A - прямоугольная m× n матрица. Причем в задачах аппроксимации данных, как правило, m > n. Уравнение (1.3) называется нормальным уравнением.

Можно было с самого начала, используя евклидову норму векторов, записать задачу в эквивалентной матричной форме:

==

=

Наша цель минимизировать эту функцию по x. Для того чтобы в точке решения достигался минимум, первые производные по x в этой точке должны равняться нулю. Производные данной функции составляют

−2A^TB + 2A^TAx

и поэтому решение должно удовлетворять системе линейных уравнений

(A^TA)x = (A^TB).

Эти уравнения называются нормальными уравнениями. Если A - m× n матрица, то A>A - n × n - матрица, т.е. матрица нормального уравнения всегда квадратная симметричная матрица. Более того, она обладает свойством положительной определенности в том смысле, что (A>Ax, x) = (Ax, Ax) ≥ 0.

Замечание. Иногда решение уравнения вида (1.3) называют решением систе- мы Ax = В, где A прямоугольная m × n (m > n) матрица методом наименьших квадратов.

Задачу наименьших квадратов можно графически интерпретировать как минимизацию вертикальных расстояний от точек данных до модельной кривой (см. рис.1.1). Эта идея основана на предположении, что все ошибки в аппроксимации соответствуют ошибкам в наблюдениях. Если имеются также ошибки в независимых переменных , то может оказаться более уместным минимизировать евклидово расстояние от данных до модели.

рис.1.1.

3.2 МНК в Excel

Приведенный ниже алгоритм реализации МНК в Excel подразумевает, что все исходные данные уже известны. Обе части матричного уравнения A×X=B системы умножаем слева на транспонированную матрицу системы А^Т:

А^ТАХ=А^ТВ

Затем обе части уравнения умножаем слева на матрицу (А^ТА)^-1. Если эта матрица существует, то система определена. С учетом того, что

(А^ТА)^-1*(А^ТА)=Е, получаем

Х=(А^ТА)^-1А^ТВ.

Полученное матричное уравнение является решением системы m линейных уравнений с nнеизвестными при m>n.

Рассмотрим применение вышеописанного алгоритма на конкретном примере.

Пример. Пусть необходимо решить систему

Решение.

В Excelлист с решением в режиме отображения формул для данной задачи выглядит следующим образом:

Результаты расчетов:

Искомый вектор Х расположен в диапазоне Е11:Е12.

При решении заданной системы линейных уравнений использовались следующие функции:

. МОБР - возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве.

Синтаксис: МОБР(массив).

Массив - числовой массив с равным количеством строк и столбцов.

После введения функции в левую верхнюю ячейку диапазона массива следует выделить массив, начиная с ячейки, содержащей формулу, нажать клавишу F2, а затем нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

. МУМНОЖ - возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах). Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2.

Синтаксис: МУМНОЖ(массив1;массив2).

Массив1, массив2 - перемножаемые массивы.

После введения функции в левую верхнюю ячейку диапазона массива следует выделить массив, начиная с ячейки, содержащей формулу, нажать клавишу F2, а затем нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

. ТРАНСП - преобразует вертикальный набор ячеек в горизонтальный, или наоборот. В результате использования этой функции появляется массив с числом строк, равным числу столбцов исходного массива, и числом столбцов, равным числу строк начального массива.

Заключение

В курсовой работе описаны некоторые классические ([4],[7]) методы решения систем линейных уравнений. Описан также метод наименьших квадратов и решение системы с прямоугольной матрицей, в которой число уравнений больше, чем число неизвестных. Решение этой системы также свелось к решению методом Гаусса системы с квадратной матрицей, получаемой из исходной системы умножением обеих частей на транспонированную матрицу.

Следует отметить ( см. [2], [3], [4], [6], [7]), что в современных научных вычислениях в основном фигурируют методы решения больших, т.е. с размерностью более 1000, систем линейных алгебраических уравнений. В указанных книгах описаны существенно более изощренные методы решения алгебраических систем, для реализации которых на Excel’е требуется написание на языке Visual Basic новых макросов. Но, так как для решения больших систем Excel не пригоден в связи с низкой производительностью, то реализация этих методов в Excel не имеет смысла.

Список литературы

[1] Гельман В.Я. Решение математических задач средствами Excel.-Москва-

Санкт-Петербург : Питер,2003.

[2] Каханер Д. Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение.-М.: Мир, 1998.

[3] Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. АЛГОРИТМЫ (построение и анализ). - М.: МЦНМО, 2000.

[4] Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение.- М.: Мир, 1984.

[5] Васильев А.Н. Научные вычисления в Microsoft Excel .- Москва-Киев: Диалектика, 2004.

[6] Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. - М.:Мир, 1980.

[7] Press W.H., Teukolsky S.A., Flannery B.P. Numerical Recipes in C.- Cambridge University Press, 1991.