Рис.2.1 Схема дистилляционной колонны
В этом процессе составы смеси верха и низа колонны регулируются орошением () и входным потоком подаваемой смеси F. Данные по номинальным режимам работы представлены в [10].
Для моделирования работы дистилляционной колонны использовались как уравнения материального, так и теплового баланса [12]; таким образом, полученная модель представляет собой систему характеристических уравнений, описывающих различные этапы функционирования колонны.
Исходная модель одномерного (SISO) технологического процесса (управляемой системы) третьего порядка, описывается уравнениями:
, , (2.1)
, , . (2.2)
Здесь - управление, которым является горячий пар, подаваемый в Reboiler; - температура паров в верхней части колонны, которая является управляемой переменной технологического процесса.
При этом передаточная функция (ПФ) системы (2.1), (2.2) имеет вид:
. (2.3)
Полученная модель в дальнейшем используется для синтеза системы управления тремя методами редукциями: временной, балансной и модальной.
2.2 Постановка задачи синтеза САУ
К началу решения задачи синтеза САУ объект управления, как совокупность исполнительного механизма, объекта и датчиков, обычно известен, т.е. известна его математическая модель (2.1) - (2.3). Поэтому задача синтеза заключается в определении структуры и параметров устройства управления (УУ), которое предназначено для придания замкнутой системе устойчивости и требуемых значений показателя качества. Задача синтеза САУ формируется различным образом в зависимости от назначения системы, условий ее функционирования и предполагаемого метода синтеза.
Рассматривая постановку задачи синтеза одномерных систем стабилизации, следящих и программного управления, функционирующих в условиях (не случайных) воздействий. Требуемый закон изменения во времени управляемой переменной этих систем определяется задающим воздействием, а качество характеризуется обычно заданным показателям качества [4, с 112]. Поэтому целесообразно применить метод аналитического синтеза по прямым показателям качества (АССППК) [7, с. 163]. Синтез САУ этим методом проводится на основе модели заданной части или объекта управления в виде уравнения «вход-выход»:
(2.4)
где - управляемая переменная; - управляющее воздействие (управление); неизмеряемое возмущение; - нормированный по старшей степени полином вида:
. (2.5)
числа или полиномы общего вида. Коэффициенты всех полиномов в (2.1) имеют известные численные значения.
Далее полагая, что объект управления (2.4) является полным, т.е. условие - выполнено.
Уравнение УУ всегда определяется используемым при синтезе САУ принципом управления. При использовании метода АССППК ищется уравнения «вход-выход» УУ в соответствии с «принципом управления по выходу и воздействием», и сначала записывается следующим образом:
(2.6)
где - задающее воздействие замкнутой системы; - полиномы, подлежащие определению.
Как видно, на вход УУ (2.6) подаются выход объекта, а также задающее воздействие. В данном случае возмущение не подается на УУ, так как оно не измеряется. В общем же случае, когда к объекту управления приложены и измеряемые возмущения воздействия, они также подаются на вход устройства управления, наряду с задающим воздействием [7]. Поэтому устройство управления, описываемое уравнением (2.6), фактически, является многомерным устройством управления (МУУ), и реализует «управление по выходу и воздействиям».
Величина:
(2.7)
где называется относительным порядком МУУ (2.6). Эта величина связана с возможностью физической реализации уравнения (2.6), т.е. с возможностью построения такого реального, физического устройства, которое бы описывалось этим уравнением.
Практически из уравнения МУУ (2.6) необходимо искать такими, чтобы их степени удовлетворяли условию физической реализуемости:
, (2.8)
где - допустимое по условиям реализуемости значение относительного порядка, синтезируемого МУУ. Значение назначается при синтезе в зависимости от предлагаемого способа реализации МУУ и свойств технических элементов, используемых при этом.
Аналитический синтез систем. Рассматриваемый метод аналитического синтеза систем по прямым показателям качества (АССППК) позволяет создать САУ различных типов: САУ с «независимыми полюсами», «с согласованными полюсами», а также «редуцированные» системы [5].
Очень часто для заданного объекта управления требуется найти МУУ так, чтобы замкнутая система имела [4, с. 128, с.112]:
- астатизм порядка к задающему воздействию и - к возмущению;
- время регулирования не более с;
- перегулирование не более %.
При этом относительный порядок МУУ должен быть равен назначенному значению .
Если в уравнении заданного объекта (4.1) полиномы , , причем и , то для обеспечения требуемых порядков астатизма и необходимо в ММУ дополнительно ввести чистых интеграторов (т.е. звеньев с передаточной функцией 1/p):
, (2.9)
где - это число нулевых корней полинома A(p), - это число нулевых корней H(p) из уравнения (2.1).
Чтобы ввести в МУУ чистых интеграторов, достаточно в (4.3) принять полином R(p) в виде:
(2.10)
где- вспомогательный полином, причем, очевидно, что его степень .
Очень часто процессы, протекающие в объектах управления, является разнотемповыми, т.е. некоторые их составляющие протекают намного быстрее, чем требуется в синтезируемой системе управления, а некоторые - медленнее [15 с.128]. Этим составляющим соответствуют различные значения постоянных времени в характеристическом полиноме объекта, представленном в виде произведения множителей вида или , где 0? ?1.
Если характеристический полином представлен в виде полинома (2.2), то каждому множителю , соответствует его вещественный корень , а каждому множителю - пара комплексных сопряженных корней , где , . Справедливы и обратные соотношения, т.е. каждой паре комплексно-сопряженных корней, например, , соответствует множитель , где , .
Каждая составляющая, соответствующая указанным корням или , затухает за время не более . Поэтому, если характеристический полином объекта имеет множитель , постоянные времени которых намного меньше, чем , где - требуемое время регулирования синтезируемой системы, то соответствующие корни можно предусмотреть и в характеристическом уравнении замкнутой системы. Аналогично можно поступить, если соответствующие множителям величины намного меньше величины . Тем самым соответствующие составляющие процессов, протекающих в объекте управления, затухнут задолго до окончания переходных процессов синтезируемой системы, причем без влияния на них синтезируемого МУУ. Фактически этот прием позволяет реализовать принцип «наименьшего принуждения», предложенный В.В. Солодовниковым и академиком А.А. Красовским.
С этой целью, прежде всего, на комплексной плоскости определяется область, допустимого расположения корней характеристического полинома D(p) синтезируемой системы, которая далее обозначается символом . В дальнейшем корни корней характеристического полинома D(p) системы, для кратности, называется ее полюсами.
Область можно определить, например, условием , где - желаемая степень устойчивости системы [4,7]. Фактически, это значит, что если корни некоторого полинома лежат в области , то его корни можно включать в число корней характеристического полинома синтезируемой системы D(p). Для этого достаточно принять этот полином равным , где - полином, корни которого назначаются, исходя из требуемых прямых показателей качества синтезируемой САУ. Принадлежность полюсов некоторого полинома области обозначается символом , либо . В частности, полином может включать множители или при указанных выше условиях.
В связи с этим при синтезе систем с согласованными полюсами, после определения , проводится факторизация полиномов и из уравнения заданного объекта управления (2.1) относительно этой области. Она заключается в представлении этих полиномов в виде:
, (2.11)
где - полиномы, нормированные по старшей степениp; - коэффициент при старшей степени p полинома . Будем считать, что корни полиномов и равны тем корням полиномов и , которые включаются в число полюсов синтезируемой САУ, а корни полиномов и равны остальным корням и . В общем случае каждый из полиномов может быть равен 1.
Для включения корней полиномов и в число полюсов синтезируемой системы с учетом соотношений (2.8), (2.11) и (2.12) полагают:
(2.12)
где - неизвестные пока полиномы степеней , и соответственно. При этом характеристический полином D(p) замкнутой системы (2.1), (2.7) принимает вид:
(2.13)
Выражения (2.14) является полиномиальным уравнением, которое эквивалентно системе линейный алгебраических уравнений [4. c. 202], относительно коэффициентов полинома степени и конфидентов полинома степени . Здесь и далее обозначено а . Обозначим и введем обозначения:
(2.14)
При этих обозначениях система линейных алгебраических уравнений, эквивалентная полиноминальному уравнению (4.10), имеет вид:
(2.15)
Используя условия физической реализуемости (2.3) и условия разрешимости системы алгебраических уравнений (2.16) [18], находим, что степени указанных выше полиномов определяются выражениями:
(2.16) (2.17)
При указанных полиномах (2.13) передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию определяется выражением При этом коэффициентами полиномов степени и степени задаются, в соответствии с требуемыми показателями качества синтезируемой системы. Для этой цели удобно применить стандартные передаточные функции [4,16,17]. Сокращающиеся в передаточной функции полиномы и описывают неполную часть систем МУУ + объект. Как известно, неполная часть не влияет на переходные и установившиеся процессы системы, вызванные внешними воздействиями [4].
Порядок выбора коэффициентов полиномов и с применением стандартных передаточных функций зависит от вида в представлении в (4.8) полинома из уравнения объекта (2.1) и сводится к следующим действиям.
Если полином , то по заданному порядку астатизма , степени и перегулированию из указанных таблиц стандартных передаточных функций коэффициента и величина . Затем вычисляются коэффициенты полинома (2.15) по формуле:
(2.18)
где , составляется и решается в MATLAB система (2.16). По найденным коэффициентам и записываются полиномы (2.15), а затем по формулам (2.13) - и полиномы .
Полином из (2.13) определяется по формуле:
(2.19)
Если полином то после выполнения описанных выше действий при несколько меньших значениях и , по передаточной функции строится переходная функция. Если перегулирование или время регулирования, найденные по этой переходной функции, превышают превышает допустимые значения, то изменяются коэффициенты передаточной функции до тех пор, пока значения указанных величин не будут удовлетворять требованиям. Найденные таким образом коэффициенты полинома подставляются в систему (2.16), а полином в (2.13).
Таким образом, метод АССППК позволяет по выражениям (2.8) - (2.19) найти все полиномы искомого МУУ и записать его уравнение (2.3). Для технической реализации МУУ от уравнения «вход-выход» (2.3) переходят к его уравнениям в переменных состояния, с применением соотношений канонической наблюдаемой формы, приведенных в [3, с. 125].
2.3 Робастная устойчивость
Устойчивость замкнутых систем связана со стремлением учесть неопределенности, возникающие при описании нелинейностей, которые содержатся в моделях динамических систем. Однако в общем случае линейные элементы тоже могут содержать неопределенности, так как параметры их моделей также определяются с некоторыми погрешностями. В связи с этим вводится так называемая робастная устойчивость систем управления.
Неопределенности в определении параметров системы, таких как постоянные времени или коэффициенты передачи , приводят к тому, что точные значения этих параметров оказываются неизвестными. Фактически всегда известно, что значения этих параметров лежат в некоторых пределах: . При этом сами коэффициенты , постоянные времени и другие параметры системы являются постоянными.
Это приводит к тому, что в отношении, например, коэффициентов характеристического полинома и других параметров различных моделей системы управления известными оказывается лишь интервалы, в которых лежат их значения.
Например, характеристического полинома:
, (2.20)
линейной части системы могут быть заданы соотношениями:
или (2.21)
Заданные таким образом способом коэффициенты называется интервальными, а разность - интервальным. Верхние и нижние значения рассчитываются по верхним и нижним значениям коэффициентов методами интервальной математики [19].
Обычно интервальный полином D(p) n-го порядка записывается следующим образом: