(2.22)
В технических приложениях различные погрешности, неопределенности чаще всего характеризуются относительной погрешностью. Поэтому и коэффициенты характеристического полинома часто задаются своими расчетными значениями , найденные с некоторой погрешностью :
, (2.23)
где - относительная погрешность коэффициента в процентах; - расчетное значение коэффициента [4].
Динамическая система с характеристическим полиномом (2.24) является робастно-устойчивой, если она асимптотически устойчива в целом при любых значениях постоянных коэффициентах из интервала (2.21).
Оценка робастной устойчивости редуцированных замкнутых систем проводится по критерию Л.С. Харитонова с учетом отсеченной при синтезе динамики, а влияние методов редукции - путем построения границ робастной устойчивости этих систем. Этот критерий позволяет свести задачу исследования робастной устойчивости динамических систем к задаче исследования гурвицевости некоторых полиномов. С этой целью сначала составляются четыре полинома Харитонова следующего вида:
(2.24)
Все эти полиномы имеют степень, равную степени интервального полинома (2.22), а их коэффициенты равны граничным значениям интервальных коэффициентов этого полинома.
Динамическая система с интегральным характеристическим полином (2.22) является робастно устойчивой, если все четыре полинома Харитонова (2.24) являются гурвицевыми.
Таким образом, критерий Харитонова позволяет свести задачу исследования робастной устойчивости динамических систем к задаче исследования гурвицевости некоторых полиномов (2.24).
3. Синтез систем уапрвления
3.1 Постановка задачи
На основе указанных в втором разделе методов редукции находится ряд редуцированных моделей управляемой системы, и для каждой из них синтезируется методом АСС с УВВ замкнутая система.
При исследовании робастной устойчивости синтезированных систем принимается, что передаточные функции (ПФ) редуцированных моделей имеют вид , и вводятся интервалы коэффициентов и полиномов . С этой целью полагается,, где - расчетные значения коэффициентов указанных полиномов, а - максимальные относительные отклонения, обусловленные погрешностями определения коэффициентов в выражениях (2.2).
Оценка робастной устойчивости редуцированных замкнутых систем проводится по критерию Л.С. Харитонова с учетом отсеченной при синтезе динамики, а влияние методов редукции - путем построения границ робастной устойчивости этих систем.
3.2 Редукция и синтез систем
Временная редукция. В случае динамической системы (2.1), (2.2) её ПФ (2.3) представим в виде:
,
где можно считать малой постоянной времени.
Поэтому, выполняя временную редукцию, т.е. полагая в последнем выражении , получим ПФ редуцированной модели в виде:
. (3.1)
Из графиков, приведенных на рис. 3.1 и рис. 3.2 следует, переходная функция временной модели существенно отличается от переходной функция нередуцированной модели.
Переходя к синтезу редуцированной системы, отметим, что в соответствии с методом аналитического синтеза систем с управлением по выходу и воздействиям [15, 7], искомое устройство управления описывается уравнением:
, (3.2)
где - некоторые полиномы; - изображения по Лапласу управления, задающего воздействия и выходной переменной синтезируемой системы. Вид и степени полиномов определяются, исходя из требований к качеству системы, условий разрешимости задачи синтеза, а также условий физической реализуемости уравнения (3.2).
На основе модели (3.2) синтезируем неполную астатическую к задающему воздействию систему управления () с перерегулированием % и длительностью переходного процесса не более с. С этой целью, следуя [15, 7], положим , где - нормированный полином, корни которого равны достаточно левым корням полинома , т.е. таким, что , где - желаемая степень устойчивости синтезируемой системы. Множитель s в принятом выражении для полинома обусловлен требованием астатизма первого порядка, так как .
В общем случае , здесь - также нормированный полином, корни которого равны корням полинома , но не включенным в число корней полинома ; - коэффициент при старшей степени полинома . Фактически, в результате замыкания системы, полином становится множителем характеристического полинома синтезируемой системы, теоретически делая её неполной [7].
Примем также, что устройство управления (3.2) физически реализуемо, если его относительный порядок , где , а , и . При этих условиях расчетное уравнение «вход-выход» замкнутой редуцированной системы имеет вид:
, (3.3)
. (3.4)
Коэффициенты полинома определяются методом стандартных передаточных функций (СПФ) на основе заданных показателей качества синтезируемой системы. Коэффициенты полиномов находятся путем решения системы алгебраических уравнений, соответствующей полиномиальному уравнению (3.4) [15, 7].
В случае передаточной функции (3.1) , ,, поэтому из условий разрешимости уравнения (3.4) и указанных условий физической реализуемости следует, что , [15, 7]. По значениям , и % из таблицы СПФ [14, с. 346] находим: , , , , %, с. Это позволяет найти коэффициенты полинома по формуле , где . В данном случае с некоторым запасом примем , тогда , , , , а система алгебраических уравнений, соответствующая уравнению (3.4), здесь имеет вид:
, (3.5)
её решение определяет полиномы , . Поэтому полиномы , , а уравнение устройства управления (3.2), в случае временной редукции, имеет вид:
:. (3.6)
Уравнение (3.6) описывает устройство, относительный порядок которого, очевидно, равен 1, что соответствует принятым условиям синтеза. Нетрудно убедиться, например, с помощью пакета MATLAB, что замкнутая редуцированная система (3.1), (3.6) имеет заданные показатели качества.
3.2.2. Балансная редукция. Операцию балансной редукции удобно выполнить в MATLAB с помощью функции «balancmr» [14, 6]. Применяя эту функцию к системе уравнений (2.1), (2.1), получим редуцированную модель:
, . (3.7)
Передаточная функция полученной методом балансной редукции модели (3.7) имеет вид
. (3.8)
Из графиков, приведенных на рис. 3.2 и рис. 3.3 следует, переходная функция балансной модели существенно отличается от переходной функция временной модели.
Замкнутая система синтезируется по передаточной функции (3.8) тем же методом, что и в случае временной редукции, но при , так как здесь полином имеет первую степень; коэффициент , а полином , по-прежнему. В результате получим следующее уравнение «вход-выход»:
:(3.9)
Отметим, что замкнутая система (3.7), (3.9) имеет те же заданные показатели качества.
Модальная редукция. Наиболее быстро затухающей модой рассматриваемой системы (2.1), (2.2), очевидно, является мода , соответствующая корню . Остальным корням характеристического полинома этой системы соответствуют «доминирующие (сравнительно медленно затухающая и возрастающая ) моды». Для краткости, «быстро затухающие моды» далее будем называть «быстрыми модами», а остальные «доминирующими модами».
В соответствии с методом спектральной декомпозиции проводится замена в уравнениях (2.1), (2.2) вектора по формуле: так, чтобы новый вектор состоял из двух компонент: быстрой - и доминирующей - [1, 10].
В рассматриваемом случае быстрая компонента должна зависеть только от корня , т.е. только от быстрой моды , а доминирующая компонента - от остальных корней характеристического полинома, т.е. от остальных мод системы.
Для этой цели можно воспользоваться линейным преобразованием , где матрица - обратная к имеет вид:
. (3.10)
Подвергая вектор состояния системы (2.1), (2.2) преобразованию , получим уравнения относительно переменных , . Для удобства дальнейшего рассмотрения запишем их в скалярной форме:
(3.11)
Для проведения модальной редукции модели (3.11) быстрая компонента в уравнениях доминирующих компонент заменяется её установившимся значением , при котором . При этом условии из первого уравнения (3.11) вытекает равенство . Полагая в остальных уравнениях (3.11) , получим уравнения модально редуцированной модели, которые в векторно-матричной форме имеют вид:
(3.12)
Как видно, полученная модель имеет более низкий порядок по сравнению с исходной моделью системы. ПФ модально редуцированной модели (3.12) определяется выражением:
, (3.13)
Выполняя, как и выше, процедуру синтеза замкнутой системы по ПФ (3.13) при тех же условиях, найдем уравнение устройства управления для данного случая модальной редукции:
:.(3.14)
Переходная функция модально редуцированной системы приведена на рис.3.3.
Из графиков, приведенных на рис. 3.1 и рис. 3.3 видно, что переходная функция модально редуцированной системы довольно сильно отличается от переходной функции нередуцированной системы. В особенности это относится к началу этих графиков.
3.3 Синтез нередуцированной системы управления
В случае передаточной функции (2.3) , ,, поэтому из условий разрешимости уравнения (3.4) и указанных условий физической реализуемости следует [15, 7], что ,. По значениям , и % из таблицы СПФ [14, с. 346] находим: , , , , , , %, с. Это позволяет найти коэффициенты полинома по формуле , где . В данном случае с некоторым запасом примем , тогда,, , , ,, а система алгебраических уравнений, соответствующая уравнению (3.4), здесь имеет вид:
её решение определяет полиномы , . Поэтому полиномы , , а уравнение устройства управления (3.2), в случае нередуцированной модели имеет вид:
:. (3.14)
Из графика, приведенного на рис. 3.4 следует, что замкнутая система отвечает заданным показателям качества: порядок астатизма ; время регулирования не более с; перегулирование не более .
Приведенные переходные функции (рис. 3.2 - 3.4) синтезированных систем свидетельствуют, что качество переходных процессов при расчетных значениях параметров удовлетворяет поставленным требованиям. Выделение бензина из смеси происходит с достаточной степенью точности, характер процесса управления апериодический, система асимптотически устойчива.
4. Моделирование системы управления
Для проведения исследования разработаны две программы в среде MATLAB [12].За основу технологического процесса дистилляции нефти взята исходная математическая модель (2.1) - (2.3), редуцированная тремя методами редукции: временная редукция (ВР), балансная редукция (БР) и модальная редукция (МР) - описанных в главе 3 дипломного проекта. На основе методов, были синтезированы 3 модели динамической системы, которые описываются уравнениями (3.6) - ВР - модель 1, (3.9)- БР - модель 2 и (3.15)- МР -модель 3.
С помощью первой программы, блок - схема которой показана на рис. 4.1, осуществляется исследование робастной устойчивости замкнутых систем при Т = 0 для каждой редукции, а также для исходной математической модели:
, (4.1)
,
(4.2), (4.3)
. (4.4)
Устройство управления (4.1) - (4.4) описывается уравнениями (4.5) - (4.8):
, (4.5)
, (4.6)
, (4.7)
. (4.8)
Процесс исследования заключается в следующем.
После ввода в блоке 1 коэффициентов полиномов моделей технологического процесса дистилляции и соответствующего УУ, например, уравнений исходной математической модели(4.1) и (4.5).
В блоке 2 выполняются операции умножения A(p)*R(p)=D1иB(p)*L(p)=D2. Так как степени полиномов D1 и D2 в данном случае не отличаются, то следующий блок 3 пропускается, который уравнивает порядок D1 и D2. Это осуществляется путем добавления нулей в качестве старших коэффициентов полинома меньшего порядка. Число добавляемых нулей, равно разности степеней полиномов D1 и D2.
В блоке 4 вводится заданная относительная погрешность коэффициентов полиномов модели. В данном случае она принимается одинаковой для всех коэффициентов, т.е. в выражении (2.23) ,
Далее в блоке 5 рассчитываются по (2.23) верхние и нижние интервалы коэффициентов полиномов введенной системы и определяется интервальный характеристический полином замкнутой системы.
Исследование робастной устойчивости осуществляется следующим образом.
В блоке 6 при некотором малом значении е проверяется робастная устойчивость замкнутой системы по критерию В.Л. Харитонова [3]. Если замкнутая система оказывается робастно устойчивой, то значение е увеличивается и процедура повторяется. Если же замкнутая система оказывается робастно неустойчивой, то значение уменьшается, и процедура повторяется. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет найдено (с некоторой точностью) значение , соответствующее границе робастной устойчивости исследуемой системы при Т = 0.
В блоке 7 выводится на печать найденное критическое значение относительной погрешности, при котором динамическая система (4.1) - (4.5) теряет робастную устойчивость.
Для редуцированных моделей (4.2) - (4.6), (4.3) - (4.7) и(4.4) - (4.8) процесс исследования робастной устойчивости выполняется полностью, применяя все блоки программы (рис.4.1)
Исследование влияния постоянной Т на робастную устойчивость редуцированных систем проводится с помощью программы, блок-схема которой показана на рис. 4.2. Эта блок-схема аналогична предыдущей, за исключением блока 3, в котором выполняется умножение полинома A(p)*R(p)на двучлен Tp+1.
В процессе исследования, здесь определяется график зависимости от значений постоянной времени Т отклонений коэффициентов модели процесса, критических по условию робастной устойчивости замкнутой системы автоматизации. С этой целью значению Т придается некоторое значение и описанная выше процедура исследования робастной устойчивости повторяется до получения значения.