Материал: Розрахунок балок при прямому згині

- 5 -

- 6 -

2.Основні теоретичні відомості

2.1.Основні поняття. Поперечні сили та згинальні моменти

Стрижень з прямою віссю, що працює на згин, називається балкою. Згин балки викликається зосередженими, розподіленими навантаженнями, а також зовнішніми моментами, які діють у площині, що проходить через вісь балки. Характерною ознакою деформації згину балки є зміна кривини її осі. Площина, в якій діють навантаження, називається силовою площиною.

z

M

F q

x

y

Рис. 1. Навантаження, що діють на балку при прямому згині

Якщо викривлена вісь балки лежить в силовій площині (рис. 1), то має місце прямий згин балки. При прямому згині скривлена вісь балки є плоскою кривою, що є геометричним місцем вертикальних переміщень точок осі балки. Ці переміщення називаються прогинами балки.

При прямому згині в поперечних перерізах балки виникають дві внутрішні сили: поперечна сила Q(x) та згинальний момент M (x) (рис. 2, а), для визначення яких використовується

метод перерізів. Якщо обидва зазначені силові фактори M (x) та Q(x) є відмінними від нуля,

то такий згин називається поперечним. У випадку відсутності поперечних сил згин називається

чистим.

Рис. 2. Поперечні сили та згинальні моменти при прямому згині балки

Внутрішні сили в довільному перерізі балки (рис. 2, а), яка знаходиться під дією зрівно-

- 7 -

важеної системи сил, визначаються таким чином:

•поперечна сила Q(x) чисельно дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на вісь y перерізу усіх зовнішніх сил, розташованих по один бік від цього перерізу. Додатними вважаються поперечні сили, які намагаються повернути розглядувану частину балки за ходом стрілки годинника (рис. 2, б);

•згинальний момент М(х) чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів відносно осі z перерізу всіх зовнішніх сил, розташованих по один бік від цього перерізу. Додат-

ними вважаються згинальні моменти від дії тих сил, що викликають розтяг нижніх волокон балки (рис. 2, в).

На підставі одержаних формул (чи значень для характерних точок осі балки) для поперечних сил Q(x) та згинальних моментів М(х) будують їх епюри.

Між згинальним моментом М(х), поперечною силою Q(x) та інтенсивністю розподіленого навантаження q(x) існують такі диференціальні залежності

Із цих залежностей випливають такі висновки:

1.На ділянках балки, де відсутнє розподілене навантаження ( q = 0 ), поперечна сила Q(x) – постійна величина, а згинальний момент М(x) змінюється за лінійним законом.

2.На ділянках балки, де діє рівномірно розподілене навантаження ( q = const ), поперечна сила Q(x) змінюється за лінійним законом, а згинальний момент М(x) – за законом квадратної параболи, ввігнутої в сторону дії навантаженняq .

3.На ділянках балки, де поперечна силаQ(x)> 0 , згинальний момент М(x) зростає, а

при Q(x)< 0 – М(x) спадає.

4.У перерізі балки, в якому поперечна силаQ(x)= 0 , згинальний момент М(х) набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення.

5.На ділянці балки, на якій поперечна сила Q(x)= 0 , згинальний момент M (x)= M – постійна величина і на цій ділянці має місце чистий згин.

6.У перерізі балки, в якому діє зосереджена сила, епюра Q(x) має стрибок на величину прикладеної сили, а епюра М(х) має злом в сторону дії цієї сили.

7.У перерізі балки, в якому діє зосереджений момент, епюра М(х) має стрибок на величину моменту пари сил.

2.2. Розрахунок балок на міцність

При поперечному згині балки ( M (x)≠ 0 , Q(x)≠ 0 ) у її поперечних перерізах виникають нормальні та дотичні напруження.

Нормальні напруження σ (x, y) в довільній точці перерізу визначаються за формулою

де М(х) – згинальний момент в розглядуваному перерізів балки, значення якого беремо з епюри М(х); Iz – осьовий момент інерції перерізу відносно нейтральної осі z ; y – ордината точки перерізу, в якій визначається напруження. Знак нормальних напружень визначається у відповідності до дії згинального моменту.

- 8 -