Документ: Ряды Фурье. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н, страницы 1-5

Материал: Ряды Фурье. методические указания для организации самостоятельной работы по курсу Высшая математика. Пантелеев И.Н

Смотрите также:

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

309 - 2011

РЯДЫ ФУРЬЕ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы

по курсу "Высшая математика" для студентов специальностей 280103 "Защитавчрезвычайныхситуациях",

280101 "Безопасностьжизнедеятельностивтехносфере" и направления 280200 "Защитаокружающейсреды"

очной формы обучения

Воронеж 2011

Составитель канд. физ.-мат. наук И.Н. Пантелеев

УДК 681.3.06

Ряды Фурье: методические указания для организации самостоятельной работы по курсу "Высшая математика" для студентов специальностей 280103 "Защита в чрезвычайных ситуациях", 280101 "Безопасностьжизнедеятельностивтехносфере" и направления 280200 "Защита окружающей среды" очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; Сост. И.Н. Пантелеев. Воронеж, 2011. 50 с.

Настоящие методические указания предназначены в качестве руководства для организации самостоятельной работы

по курсу "Высшая математика" при изучении во 2 семестре раздела «Числовые и функциональные ряды» для студентов специальностей 280103 (ЧС), 280101 (БЖ) и направления 280200 (ЗС). В работе приведен теоретический материал, необходимый для выполнения заданий и решения типовых примеров.

Методические указания подготовлены на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word 2003 и

содержатся в файле Vmfmm_RdFurje.pdf.

Ил. 18. Библиогр.: 8 назв.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. В.В. Ломакин Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

1.РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2π

1.1. Тригонометрическая система функций. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье периодических

функций с периодом 2π

1.1.1. Тригонометрический ряд и тригонометрическая система функций.

Определение. Ряд вида

α0 +α cosx +b sin x +α					2	cos 2x +b sin 2x +... +α	n	cos nx +
2	1	1			2	2	n
2
			α0	∞
+bn sin nx +... =			α0	+∑(αn cos nx +bn sin nx)				(1.1)
			2	n=1				(1.1)

называется тригонометрическим рядом; а числа α0, α1, b1 α2, b2,…, αn, bn,… - коэффициентами тригонометрического ряда.

В отличие от степенного ряда в тригонометрическом ряде вместо системы простейших функций

		1, х, х2,…, хn, …
взята система тригонометрических функций
	1	,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,...,cos nx,sin nx,...,	(1.2)
2		,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x,...,cos nx,sin nx,...,	(1.2)
2
которая также хорошо изучена.

Прежде всего отметим, что все функции системы (1.2) являются периодическими с периодом 2π. В самом деле,

постоянная	1	имеет любой период, а период функций sinnx и
постоянная	2	имеет любой период, а период функций sinnx и
	2		2π
cosnx (n=1,2,…) равен			2π	и, следовательно, число
cosnx (n=1,2,…) равен			n	и, следовательно, число
			n

2π = n( 2nπ )

также их период. Очевидно, что каждый член тригонометрического ряда (1.1) является периодической функцией с периодом 2π. Поэтому и любая частичная сумма ряда (1.1) 2π - периодична (если все члены ряда не меняются от замены х на х + 2π, то и сумма его не изменяется от этой замены). Отсюда следует, что, если ряд (1.1) сходится на отрезке [-π,π], то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2π. Поэтому тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодических функций, описывающих различные периодические процессы, которые имеют место в природе и технике, в частности, - в электрорадиоцепях.

Другим важным свойством тригонометрической системы функций (1.2) являются их ортогональность на отрезке [-π,π] в следующем смысле: интеграл по отрезку [-π,π] от произведения любых двух различных функций этой системы равен нулю, а интеграл по отрезку [-π,π] от квадрата любой функции этой системы отличен от нуля.

Действительно:

π∫

1

cos mxdx =

1

sin mx

π

= 0,

(1.3)

2m

−π

−π 2

π∫

1

sin mxdx =

1

cos mx

π

= 0,

2m

−π

−π 2

Далее

π∫ cos mx cos nx dx =

1 π∫[cos(m +n)x +cos(m −n)x]dx =

−π

2 −π

1 sin(m +n)x

+

sin(m −n)x

π

= 0, при m≠n.

(1.4)

m +n

m −n

2

−π

2

Аналогично находим

π∫sin mxsin nxdx = 0 при m≠n.

−π

π	(1.5)
∫sin mx cos nxdx = 0
−π

Наконец,

π

2

1

π

1

π

∫cos

mxdx =

∫(1+cos 2mx)dx =

x +

sin 2mx

2m

−π

2

−π

2

π

1

π

1

π

∫sin

2

∫(1−cos 2mx)dx =

mxdx =

x −

sin 2mx

2m

−π

2

−π

2

−π

π

1

2

1

π

∫

dx =

x

−π

= 2 ,

2

4

−π

что и требовалось доказать.

=π,

(1.6)

1.1.2. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Пусть тригонометрическая функция y=f(х) периода 2π разлагается в тригонометрический ряд

	α0	∞
f (x) =	α0	+∑(αn cos nx +bn sin nx).	(1.7)
	2	т=1

Это означает, что ряд, стоящий в правой части формулы (1.7), сходится и суммой его является функция f(x). В силу периодичности f(x) сходимость ряда имеет место для любой точки х числовой оси.

3

Наша задача заключается в том, чтобы найти коэффициенты α0, αn, bn этого ряда, зная исходную функцию f(x).

Теорема. Если функция f(x)определена и интегрируема на отрезке [-π,π], разлагается в тригонометрический ряд, а этот ряд сходится равномерно для любого х, то разложение (1.7) единственно и

Доказательство. Интегрируя почленно (1.7) (для равномерно сходящегося ряда это законно), получаем

π	α0	π	∞		π		π
∫ f (x)dx =	α0	∫dx + ∑ αn			∫cos nxdx +bn ∫sin nxdx ,
−π	2	−π	n=1 −π				−π
откуда, учитывая (1.3), находим
			α0 =	1		π∫ f (x)dx,		(1.8)
			α0 =	π		π∫ f (x)dx,		(1.8)
						−π

Для определения коэффициента αm, при cosmx (m – натуральное число, т.е. m =1,2,3,…) умножим равенство (1.7) на cosmx и проинтегрируем почленно по х от -π до π. Тогда на основании формул (1.3) – (1.6) получаем

π∫

−π

+

f (x) cos mxdx =		α0	π∫cos mxdx +
		2 −π
∞	π		π	=
∑ αn ∫cos mx cos nxdx +bn ∫cos mx sin nxdx				=
n=1	−π		−π

=αm	π∫cos2 mxdx =αmπ,	4
	−π	4
	−π

π∫ f (x) cos nxdx

(n=0,1,2,3,…),

π∫ f (x)sin nxdx

(n=1,2,3,…).