Документ: s_electro, страницы 46-50 | База учебных материалов

i (q) =

∫Kdt ∫idt ,

(q)

=

∫Kdt ∫udt ,

(1.5.12)

u

q−раз

a

i + a i + a

i (2)= b

u + b

+ b

(2) .

(1.5.13)

2

0

2

u

0

u

1

Полученное интегральное уравнение справедливо при выполнении двух условий. Во-первых, в выходном напряжении источника u нет постоянной составляющей напряжения. При ее наличии расчет делается отдельно для переменной составляющей по излагаемой здесь методике и по постоянной составляющей (элементарную схему замещения для нее получаем из исходной, закоротив ветви с индуктивностями и разомкнув ветви с емкостями). Во-вторых, опускаются постоянные интегрирования, дающие вклад в затухающие переходные составляющие процесса, а целью преобразования является получение интегрального уравнения для установившегося режима, для которого и определяются действующие значения переменных.

4. Преобразование интегрального уравнения ИУ относительно мгновенных значений переменных в алгебраическое уравнение АУ относительно действующих значений переменных посредством следующего оператора: ИУ возводится в квадрат и усредняется за период напряжения, т. е.

1	T∫(ИУ)2 dt АУ .	(1.5.14)
T
	0

Так как левые и правые части дифференциального уравнения (1.5.13) аналогичны с точностью до обозначений, то достаточно рассмотреть подробно процедуру алгебраизации применительно только к левой части уравнения.

В соответствии с (1.5.14) получаем

1

T

(2)

2

a2 T

2

a2

T 2

a2

T

(2)

2

∫

dt =

2

∫i

+

1

∫(i )

dt +

0

∫

dt +

a2i + a1i +a0 i

dt

i

T

0

2a

a

T

2a a

T

(2)

2a

2

a

0

T

(2)

+

2 1

∫iidt +

1 0

∫ii

dt +

∫i i

dt.

T

0

46

(1.5.15)

В общей теории метода АДУ показано [21], что средние значения от произведения интегрированных различное число раз переменных периодических функций (здесь – токов) подчиняются следующему производящему соотношению:

					0						при (q1+q2) − нечетном
	T
1		(q1 )		(q2 )		q		+q		2
1		(q1 )		(q2 )						2
	∫i		i		dt =		1		2		(1.5.16)
T	∫i		i		dt =		1		2		(1.5.16)
T	0				±			2			при (q1+q2) − четном
	0				±	I		2			при (q1+q2) − четном

Знак плюс берется в случаях, когда разница показателей q1 и q2 кратна четырем, а знак минус– когда разница показателей q1

иq2 кратна двум.

Сучетом этого, четвертый и пятый интегралы в (1.5.15) будут равны нулю, а интегральное уравнение, преобразованное в алгебраическое, примет вид:

2 2	2	2	2		(2) 2		2 2	2		2	2		(2) 2

a2I	+ (a1	− 2a2a0 )(I)	+ a0	I		= b2U		+ (b1	− 2b2b0 )(U)		+ b0	U		,

(1.5.17)

где в правой части уравнения использованы обозначения для действующих значений интегралов напряжения, аналогичные обозначениям в левой части:

	(			)2 =		1			T∫(				)2 dt ,
			U			1						u
			U									u
						T				0
										0
		(2)			2		1				T				(2)	2
		(2)			2		1				T				(2)	2
U					=						∫	(u				)	dt
U					=			T			∫	(u				)	dt
								T			0
											0
и в общем случае
	(q) 2						1				T			(q)		2
	(q) 2						1				T			(q)		2
U					=						∫(u					)	dt .
U					=		T				∫(u					)	dt .
							T				0
											0

(1.5.18)

(1.5.19)

(1.5.20)

47

5. Доопределение алгебраического уравнения (1.5.17), со-

держащего три неизвестных ( I , I , I (2) ), двумя дополнительными уравнениями для получения разрешимой системы алгебраических уравнений относительно действующего значения тока I. Недостающие алгебраические уравнения получаются в рамках первого уровня приближения N = 1 при допущении, что

	i ≈ i (1) ,				I	≈ I (1)		=	I(1)			,		(1.5.21)
										ω

	(2)		(2)			(2)		(2)			I(1)
i		≈ i	(1)	,	I		≈ I	(1)		=			.	(1.5.22)
											ω2

Это допущение физически обосновано тем, что интегрирование переменной несинусоидальной функции приводит к улучшению степени синусоидальности проинтегрированного сигнала, так как при интегрировании все k-е гармоники уменьшаются в k раз по отношению к первой гармонике. Другими словами, математическая операция интегрирования искаженной синусоиды технически означает ее фильтрацию, приводящую к улучшению сигнал/шум (первая гармоника/высшие гармоники). В случае искаженных токов первый уровень приближения при расчете может оказаться недостаточным и тогда решение строится для более высоких уровней приближения [21].

6. Решение полученной системы алгебраических уравнений (1.5.17), (1.5.21), (1.5.22), с учетом того, что нахождение первой гармоники тока I(1) не представляет проблемы и может быть выполнено также методом АДУ(1). Перед записью решения необходимо преобра-

зовать величины U , U (2) в более наглядную форму, очевидную из следующих выражений.

∞	=U (1)		∞ U			2
U = ∑U 2	=U (1)	1	+ ∑	U	(k)	=U (1) 1+ КГ2 (1.5.23)
(k)				U
k =1			k =2		(1)

или в общем случае

48

∞

U

∞

U

2

U

U =

∑

(U (k) )2

=

(1)

1

+ ∑

(k)

=

(1)

1+(КГ )2 ,

k =1

ω

kU

(1)

ω

k =2

(2)

∞

(2)

2

U

(1)

∞

U (k)

2

U

(1)

(2)

2

U

=

∑ U

(k)

=

ω

2

1+ ∑

2

U (1)

=

ω

2

1+

КГ

,

k =1

k =2 k

U (q)

где

∞

(q)

2

U (1)

∞

U (k)

2

U (1)

(q)

2

= ∑ U

(k)

=

ω

q

1+ ∑

q

U (1)

=

ω

q

1+

КГ

,

k =1

k =2 k

(1.5.24)

(q)

U (k)

2

=

∞

q

– интегральный коэффициент гармоник

КГ

∑

k =2 U (1) k

q-го порядка. Он отличается от обычного коэффициента гармоник Кг , принятого в электротехнике, тем, что производит взвешенное (по номеру гармоники) суммирование гармоник, что позволяет как бы смоделировать действие амплитудно-частотной характеристики идеализированной электрической цепи соответствующего порядка и на этой основе спрогнозировать качество тока в цепи без расчета самого тока, как будет видно из дальнейшего.

Аналогично вводится и дифференциальный коэффициент гармо-

ник напряжения q-го порядка, если формально отрицательным значениям q придать смысл уже не операции интегрирования сигнала, а операции дифференцирования. Будем использовать для этого случая и второе обозначение (с галочкой), более узкое (только для операции дифференцирования), но и более удобное (в этих случаях).

u (−q) = u((q) = d qu , dt q

49

(

(q) =U (−q)

= ωqU (1)

∞ U

2

(

2

U

1

+ ∑

U

(k)

k q

= ωqU (1)

1+(КГ(q) ) ,

(1)

k =2

(1.5.25)

где

(

∞ U

(k)

k q

2

– дифференциальный коэффициент гар-

КГ(q) =

∑

U

(1)

k =2

моник q-го порядка. Здесь суммирование усиленных в kq раз соответствующих гармоник также характеризует их подчеркивание в идеализированной дифференцирующей цепи q-го порядка.

Формула для расчета действующего значения тока в рассматриваемой цепи второго порядка при действии несинусоидального напряжения произвольной, но известной формы в рамках первого уровня приближения имеет вид (исходя из (1.5.17) с учетом (1.5.24) и того, что для конкретной рассмотренной схемы на рис. 1.5.1 – коэффициенты

b2 = b1 = 0)

1

+(

Г(2) )2

2

U

2

b2

K

2

(1)

0

−(a12 −2a2 a0 )

I (1)

I(1)

I 2

=

−a02

.

a 2

ω4

U 2 ω2

U 2 ω4

2

(1)

(1.5.26)

При этом параметры электрической цепи (C, L, R) «скрыты» в коэффициентах дифференциального уравнения (a2, a1, a0, b2, b1, b0), а параметры несинусоидального напряжения представлены набором

U(1), Кг, Kг , Kг2 . Для рассмотренной схемы на рис. 1.5.1 обнаружена зависимость действующего значения тока только от двух параметров напряжения – U(1) и Kг2 . Таким образом, действительно, интегральный

коэффициент гармоник напряжения второго порядка определяет здесь сразу качество тока, без нахождения самого тока или его спектра.

50

Материал: s_electro

Смотрите также: