Материал: САПР технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

Матрица квадратная, порядок ее равен NxN, где N – количество неизвестных перемещений системы.

Глобальная матрица жесткости - «разреженная», т.е. имеет подавляющее количество заведомо нулевых элементов, большинство которых в процессе решения остаются нулевыми. В связи с этой и рядом других особенностей подобной матрицы для обработки ее используются специальные методы.

Система уравнений решается с вычислением столбца перемещений {q}. Полученное решение соответствует минимуму потенциальной энергии деформированной упругой системы.

Для каждого конечного элемента при наличии перемещений (углов поворота) в узлах и аппроксимирующей функции рассчитываются деформации. Если элементы линейные, то деформации в пределах элементов постоянные; если элементы параболические, деформации изменяются линейно. На основе деформаций вычисляются напряжения в элементах. При необходимости напряжения в узлах сложных элементов усредняются с последующим пересчетом напряжений в пределах каждого элемента.

Рассмотренный выше метод предполагал малые смещения элементов конструкции. В реальных задачах присутствуют нелинейные эффекты, обусловленные как геометрией (большие смещения, большие вращения и контакты), так и свойствами материалов (трение, линейная упругость, пластичность, ползучесть и т.д.). В таких случаях удобно применять разбиение внешних условий (смещения, объемные и поверхностные силы) на малые части и решать задачу в несколько этапов. На каждом этапе условия берутся с множителем l таким, что 0 < l1 < l2 < … < ln < 1, и нелинейная задача записывается в виде ситемы

, (13.4)

которая решается последовательными линейными приближениями.

На основе компонент напряженно-деформированного состояния и параметров прочности материала (материалов) производится вычисление эквивалентных напряжений по какому-либо критерию прочности. Современные программные средства анализа напряженно-деформированных состояний конструкций (НДС) методом КЭ позволяют оценивать прочность изделий с использованием как минимум четырех критериев прочности:

1. максимальных эквивалентных напряжений по Мизесу;

2. максимальных касательных напряжений;

3. Мора-Кулона;

4. максимальных нормальных напряжений.

Критерий Мизеса (критерий энергии формоизменения) определяет начало исчерпания несущей способности конструкции сравнением величины эквивалентного напряжения с пределом текучести материала. Эквивалентное напряжение в некоторой точке тела рассчитывается по формуле:

, (13.5)

где - главные напряжения. При этом эквивалентное напряжение не зависит от ориентации площадки, на которой оно действует, т.е. является инвариантным.

Критерий Мизеса применяется для изотропных материалов, имеющих вязкий характер разрушения. К таким материалам относятся большинство металлов и пластмассы, т.е. те материалы, у которых помимо вязкого разрушения четко прослеживается линейный участок на диаграмме деформирования.

Критерий максимальных касательных напряжений заключается в сравнении величины максимального касательного напряжения в данной точке относительно некоторой величины, задаваемой конструктором

(13.6)

При чистом растяжении/сжатии оценки прочности по Мизесу и по максимальным касательным напряжениям тождественны.

Отношение величины прочности (предела текучести, предела прочности и т.д.) к удвоенному максимальному, в пределах детали, касательному напряжению называют коэффициентом запаса

(13.7)

Величина ½ используется исходя из предположения, что для хрупких материалов прочность при растяжении в два раза больше прочности при чистом сдвиге.

Критерий Мора-Кулона (критерий внутреннего трения) определяет состояние хрупких материалов, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию. Но поскольку хрупкие материалы не имеют на кривой деформирования выраженного участка текучести, то величина предела текучести (Yield Stress) не участвует в расчете.

Критерий максимальных нормальных напряжений предназначен для хрупких материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Если удается ряд расчетных критериев привести к одному объединенному, то он рассматривается как функция цели. Оптимизацией называется процедура минимизации целевой функции. Наиболее часто в механике машин и конструкций в качестве параметров оптимизации принимаются вес, габаритные размеры, стоимость и т. д. Иногда задачу оптимизации приходится решать с ограничениями, т. е. выполнять ряд дополнительных условий. Очевидно, что конструкция, полученная посредством оптимизации, является наилучшей, а сам процесс оптимизации является необходимым инструментом создания конкурентоспособных машин.

Вопросы для самоподготовки:

1. Для решения каких задач проектирования кузнечно-штамповочных машин возможно применение метода конечных элементов?

2. Охарактеризуйте современные математические методы моделирования физических процессов?

3. Опишите этапы решения задач проектирования кузнечно-штамповочных машин методом конечных элементов?

Лекция №14 Проектирование базовых деталей кузнечно-штамповочного оборудования с учетом прочности на основе метода конечных элементов

Теоретические вопросы

14.1. САПР тяжелых кривошипных прессов: принципы построения и структура. Постановка задач проектирования

14.2. САПР проектирования и анализа конструкций с помощью метода конечных элементов

14.3. Решение задач проектирования на основе декомпозиции единой контактной системы деталей пресса

14.1. САПР тяжелых кривошипных прессов: принципы построения и структура. Постановка задач проектирования

Взаимосвязанные конструкторские и технологические вопросы должны рассматриваться с учетом решения единой задачи механики контактных систем, что приводит к решению задач математического моделирования контактных взаимодействий деталей системы, образующей машину в целом, и нагруженной потоком искомых внутренних сил, берущих начало от технологических усилий пресса, определенных на этапе проектирования и анализа заданного технологического процесса с учетом особенностей движения рабочего органа машины.

Системный подход, на котором строится решение задачи в рассматриваемом случае преследует следующие цели:

1) высокоточное исследование трехмерных напряженных состояний совместно работающих деталей с целью обеспечения их прочности, долговечности и оптимальных форм;

2) прогнозирование пределов точности технологических операций, достижимой на данной машине в зависимости от ее полной – упругой и контактной – деформируемости.

Ввиду сложности конфигураций деталей прессов их высокоточное моделирование может быть только дискретным, – на базе современных чис­ленных методов, среди которых наиболее универсальным и развитым является метод конечных элементов (МКЭ).

Реализация системного подхода на базе МКЭ сопряжена с труднос­тями обработки многомерных (порядка сотен тысяч) массивов, которые пре­одолеваются путем повышения эффективности алго­ритмов и быстродействия компьютеров. В ряде случаев рациональной альтернативой системному подходу является структурный подход.

Структурный подход основан на неформальном анализе специфики полной структуры заданной системы деталей с целью ее декомпозиции на автономные подсистемы, для которых возможно достоверное задание всех внешних – по отношению к подсистеме – граничных условий.

Каждая подсистема содержит минимально необходимое число контактирующих деталей, одна из которых рассматривается основным объектом исследования. Такие модели обеспечивают оптимальные – по экспертной оценке – соотношения уровней точности и сложности, что целесообразно при начальной оценке прочности основных деталей и подсистем (узлов).

Проблема обоснования автономности конкретно рассматриваемой подсистемы, как и любая схематизация конструкции, вряд ли может быть в общем случае решена однозначно и формализовано. Оценка достаточности автономии априори складывается на основе существующего конструкторского опыта и компромисса требований. Последующее уточнение происходит по результатам экспериментальных измерений или численного исследования более полных моделей. Условием, наиболее благоприятствующим существованию автономных подсистем, является симметрия конструкции и нагружения системы. В автономной подсистеме по меньшей мере одна деталь выбирается в качестве основного объекта исследования; та или иная из смежных де­та­лей, контактирующих с основной, может в свою очередь быть основным объектом исследования в другой автономной подсистеме.

Методический принцип моделирования контактно взаимодействующих деталей на базе структурного подхода предполагает последовательный переход от одной автономной подсистемы к другой, имеющей с ранее рассмотренной общую деталь. Представляется, что удачный выбор в качестве автономной пер­вой, ключевой подсистемы, равно как и дальнейшие переходные шаги по цепи подсистем, едва ли возможно гарантировать каким-то алгоритмом, общим для конструкций различных структур. Анализ развития машиностроения дает основание утверждать, что на современном этапе проектирования актуален отнюдь не поиск гипоте­тического универсального алгоритма структурного анализа, а разработка проблемно-ориентированных подходов. Такая стратегия отражает объективно существующий "естественный отбор" в технике: из множества рождающихся идей выдерживают конкуренцию, развиваются и на длительное время становятся доминирующими наиболее эффективные схемы и функциональные типы (группы, классы) машин того или иного предназначения.

14.2. САПР проектирования и анализа конструкций с помощью метода конечных элементов

В настоящее время для анализа с помощью МКЭ применяются различные САПР, и наиболее часто пользователи SolidWorks имеют дело с продуктом COSMOS Works, который включает пре- и постпроцессоры, различные модули анализа, интерфейсы с CAD-системами, трансляторы и утилиты. Рассматриваемая программа имеет модульную структуру, согласно приведенному далее описанию:

GEOSTAR: пре- и постпроцессор

Модуль GEOSTAR представляет собой работающий в графическом режиме трехмерный интерактивный геометрический моделировщик, позволяющий генерировать сетки конечных элементов, а также выполняющий функции пре- и постпроцессора при анализе МКЭ. Геометрические возможности GEOSTAR базируются на методе смешанных граничных представлений (В-гер) и параметрических кубических уравнениях.

Основное назначение GEOSTAR - выполнение функций пре- и постпроцессора для системы анализа МКЭ COSMOS Works. Пользователь может создавать модель, вводить всю необходимую для анализа информацию, выполнять собственно анализ, используя расчетные модули COSMOS Works и, наконец, визуально оценивать результаты. Все это доступно непосредственно в среде GEOSTAR в графическом интерактивном режиме под управлением падающего меню.

Разнообразные возможности геометрического моделирования в сочетании с гибкими средствами генерации конечно-элементных сеток, позволяют легко создавать сложные расчетные модели. Нагрузки, граничные и начальные условия могут быть приложены к соответствующему геометрическому элементу модели в любой заранее определенной системе координат.

Программу GEOSTAR выгодно отличает сочетание мощных возможностей, интуитивно понятной структуры и легкости в освоении. Модели, созданные в других системах геометрического моделирования (CAD), могут быть введены в GEOSTAR с помощью форматов DXF и IGES.

Пользователю в процессе работы в CAD-системе необходимо получить файл в одном из этих форматов, а потом воспользоваться одной из команд GEOSTAR для ввода модели. Также легко можно получить описание модели, построенной в GEOSTAR, в выходном файле в формате DXF или IGES для последующего использования в одной из CAD-систем.

STAR: модуль линейного статического анализа.

Модуль STAR использует для вычисления деформаций конструкций линейную теорию, использующую предположение малости перемещений. Для расчета напряжений STAR вызывает дополнительный модуль STRESS. Ниже приведены основные особенности модулей STAR и STRESS:

• расширенная библиотека элементов.

• изотропные, ортотропные, анизотропные и композитные свойства материалов.

• Критерий разрушения для композитных материалов.

• Предписанные начальные смещения узлов с учетом или без учета других нагрузок.

• Связанные степени свободы.

• Задание уравнений связи.

• Тепловые, весовые и центробежные нагрузки.

• Плоскостные эффекты при оценке жесткости

• Расчет для составного нагружения за один прогон модуля.

• Введение в матрицу жесткости дополнительной небольшой упругости для предотвращения ее возможного вырождения.

• Техника суперэлементов.

• Взаимодействие жидкости с твердым телом.

• Элемент "Зазор с трением".

• Постпроцессорные возможности: вывод листинга смещений и напряжений; автоматический выбор экстремальных значений смещений и компонент напряжений; визуализация деформированного состояния; анимация деформированного состояния; многоцветное представление полей деформации и напряжения; представленные полей деформации и напряжения в изолиниях; векторное представление полей деформации и напряжения; вывод в листинг и визуализация сдвиговых и моментных компонент балочных элементов; управляемое пользователем масштабирование; комбинирование смещений и компонент напряжения различных вариантов нагружений.

STRESS: дополнительный модуль вычисления напряжений для задач линейной статики.

Модуль STRESS вычисляет напряжения в элементах и узлах для большинства элементов библиотеки, используя результаты, полученные STAR. Напряжения, вызываемые составными нагрузками, вычисляются за один проход модуля, а комбинирование нагружений возможно на постпроцессорной стадии. Напряжения могут быть получены в любой предварительно определенной системе координат. Модуль STRESS поддерживает все возможности STAR

DSTAR: модуль вычисления собственных частот и анализа устойчивости

Модуль DSTAR оценивает собственные частоты и соответствующие им формы свободных колебаний конструкции. Он также позволяет найти критические нагрузки и связанные с ними формы потери устойчивости. Далее отмечены наиболее важные особенности модуля DSTAR.

Наличие нескольких методов отыскания собственных значений итераций в подпространстве (вплоть до 150 значений), Ланцоша (вплоть до 150 значений), Якоби (все собственные значения), обратный степенной (одно собственное значение).

Вычисление комплексных собственных значений.

Вычисление собственных значений в заданной частотной области путем задания частотного сдвига.

Использование последовательности Штурма для выделения кратных собственных значений.

Матрицы сосредоточенных и распределенных масс.

Учет влияния плоской нагрузки на жесткость.

Возможность добавить малую упругость.

Постпроцессорные возможности: вывод листинга собственных частот и форм; вывод листинга экстремальных значений форм; визуализация форм; анимации форм; управляемое пользователем масштабирование.

HSTAR: модуль решения задач теплопроводности

Модуль HSTAR решает задачи теплопроводности, включающие теплообмен за счет проводимости, конвекции и излучения. Далее отмечены наиболее важные особенности модуля HSTAR. Линейная и нелинейная, стационарная и нестационарная теплопроводность.

Температурно-зависимые свойства материалов. Источники и стоки тепла, зависящие от времени и температуры. Граничные условия, зависящие от времени и температуры: тепловые потоки; конвекция; излучение.

Предписанные температуры, задаваемые как функции времени. (Несколько итерационных вычислительных алгоритмов): метод Ньютона - Рафсона; модифицированный метод Ньютона - Рафсона.

Вычисление коэффициентов направленности излучения. Постпроцессорные возможности: вывод в листинг и визуализация температур, температурных градиентов и тепловых потоков; вывод экстремальных значений; представление многоцветной областью, в изолиниях и в векторном виде.

ASTAR: Модуль динамического анализа

Модуль ASTAR использует результаты, вычисленные модулем DSTAR, и метод разложения по собственным формам для вычисления динамической реакции конструкции. Далее отмечены некоторые важные особенности модуля ASTAR.

Расширенная библиотека элементов. Возможности анализа: возбуждение во временной области; возбуждение через основание (включая сейсмические нагрузки); возбуждение в частотной области; ударный спектр; генерация спектра ответа; случайная вибрация; стационарный гармонический анализ; спектральная плотность мощности (случайный отклик).

Модели демпфирования: скалярная; амортизационная; с дискретной вязкостью; с модальной вязкостью; конструкционная.

Начальные условия.

Функции времени для масштабирования нагрузок.

Анализ напряженных состояний.

Двух узловые элементы "зазор с трением", работающие на сжатие или растяжение.

Постпроцессорные возможности: вывод в листинг и визуализация реакций (смещения, скорости, ускорения и напряжения); построение графиков функций времени или частоты для реакций отдельных узлов и элементов; вывод в листинг экстремальных значений, визуализация в многоцветных и векторных полях, а также изолиниях, масштабирование под управлением пользователя.

NSTAR: модуль нелинейного анализа конструкции

Модуль NSTAR решает задачи нелинейного статического и динамического анализа конструкций. Далее отмечены некоторые важные особенности модуля NSTAR.

Расширенная библиотека элементов.

Геометрическая нелинейность: большие перемещения (общая и модифицированная формулировка

Лагранжиана); большие деформации (резиноподобные материалы); управляемые зазоры, линии и поверхности контакта.

Физическая нелинейность: нелинейная упругость (билинейная и произвольная кривая - напряжение- деформация); гиперэластичность; пластичность; ползучесть; термопластичность; несжимаемость.

Вычислительные методы: методы управления включают: управление нагрузкой; управление перемещением (определяет движение узла как функцию времени в заданном направлении).

Итерационные методы включают: обычный метод Ньютона - Рафсона (метод касательных); модифицированный метод Ньютона - Рафсона (метод касательных); BFSG-метод (Бройдена-Флетчера-Голдфарба-Шанно) (метод секущих), поиск линии для улучшения сходимости; управление числом итераций и погрешностью.