Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

уравнением (3.126), существенной отличительной особенностью которого является операции над исходной проекцией p(l,θ) в виде

фильтрации сверткой (ибо свертка по физической сути является операцией фильтрации) с последующей фильтрацией в виде сворачивающей функции g (l ) со своим фильтрующим окном W (ν) .

Заметим, что при выборе разных функций окна получаются различные сворачивающие функции, так как из (3.138) имеем

где gˆ (ν) – фурье-преобразование функции g (l ) .

Операция, описываемая выражением (3.140), называется обратным проецированием.

Таким образом, применение двойной операции фильтрации над исходной проекцией p(l,θ) в виде свертки, которая как бы усред-

няет выборочные значения проекции и тем самым уменьшает шумовой (фоновый) выброс выборочных значений, и в виде фильтрующего окна сворачиваемой функции, которое уменьшает вредное влияние интенсивности от соседних точек на исследуемую точку объема через уменьшение эффекта наложения их спектров, позволяет получить приемлемые результаты реконструкции

μ(x, y) в виде μ(x, y) методом обратного проецирования.

Рассмотрим третий этап алгоритма – этап адаптации формулы обращения к дискретным зашумленным данным.

Для аппроксимации функции изображения μ(mx x, my y), где

тх, ту – масштабные коэффициенты дискретизации изображения; x , y – дискреты изображения по проекциям p(n l, θm ) , где

1 ≤ m ≤ M , N − ≤ n ≤ N + (3.127)–(3.129), требуется алгоритм реконструкции, удобный для реализации в спецпроцессоре или универсальный ЭВМ.

Можно вычислить интеграл от обратной проекции (3.140) с помощью формулы трапеции:

287

аппроксимации (3.139) по правилу трапеции для выборочных значений g (l '− n l ) сворачивающей функции. Такой подход слишком

трудоемок, поскольку величина Мх×Му обычно составляет от 5122 до 20482. Целесообразнее сначала оценить р(n l, θm ) при

N − ≤ n ≤ N + , а затем посредством интерполяции по этим оценкам найти требуемые N значений функции р. Таким образом, аппрок-

симация свертки (3.139) осуществляется с помощью двух операций над дискретными данными: дискретной свертки, результат которой обозначим через рg , и последующей интерполяции рg , результат

которой обозначим через Ри . Эти операции можно записать в виде:

n'=N −

где J(l) – функция интерполяции, а число слагаемых (точек интерполяции) зависит от ширины интервала (детектора), J(l) отлична от нуля.

В качестве примера можно рассмотреть функцию Jл(l), соответствующую линейной интерполяции между соседними выборочными значениями:

288

В этом случае сумма в (3.144) состоит всего из двух слагаемых. Необходимо заметить, что в дискретной свертке (3.143) используются выборочные значения g (n l ) , взятые через равные интер-

валы. Выбрав конкретную функцию окна, эти значения можно вычислить один раз и хранить в памяти ЭВМ.

В качестве функции окна можно взять

где νс – частота среза, а коэффициент регуляризации α принимает значения от 0 до 1 (принципы регуляризации формул обращения рассматривались в главе 2). Положив νc =1 / (2 l) и подставив

(3.146) в (3.138), получим

известна под названием дискретного сворачивающего ядра Лак- шминараянана–Рамачандрана [3].

После выбора g (n l ) и J (l ) с помощью алгоритма свертки и обратного проецирования вычисляются функции (3.143), (3.144) и (3.142), причем в (3.142) вместо Р используются значения Ри .

Рассмотрим соотношение между функцией Р(l ',θ) , определенной в (3.139), и функцией Ри (l ',θ), заданной выражениями (3.143) и (3.144). Это можно сделать, проанализировав одномерные преоб-

289

разования Фурье этих функций, которые обозначим соответственно через (ν,θ) и и (ν,θ) .

Из формулы (3.139) и теоремы о свертке для преобразований Фурье следует, что

Преобразование Фурье выражений (3.143) (3.144) в результате дискретной свертки запишется

Значение выражения (3.149) в том, что оно определяет факторы, влияющие на выбор интервала дискретизации l , функции окна W(ν), которая определяет сворачивающуюся функцию g(l), и интерполирующей функции J(l).

Поясним соотношение между этими параметрами на примере (рис. 3.42). В верхней части рисунка представлена зависимость

Σ(ν,θ) от ν при фиксированной θ. Заметим, что Σ(0,θ) является суперпозицией сдвинутых копий функции (ν,θ) .

Так как μ(х, у) = 0 вне ограниченной области Ω, ее фурье-образ не ограничен по протяженности. По этой причине фурье-преобра- зование (ν,θ) функции Р(l,θ) неограниченно и содержит другие компоненты функции Σ(ν,θ), а именно (ν + γ l ) при γ ≠ 0. Влияние эффекта наложения можно ослабить, уменьшив величину дискретизации (апертуру детектора) l или функцию Р(l,θ) до ее дискретизации, пропустив через фильтр нижних частот.

290