Материал: Симонов Томографические измерителные информационные системы 2011

рование, и алгоритмы, использующие двумерное преобразование Фурье.

Тот и другой метод предполагают, что известно точное значение проекций P(l,θ) (для параллельной схемы) или P(γ,β) (для веерной схемы сканирования) для всех l (или γ) и θ (или β) и что требуемые интегральные преобразования можно выполнить точно. Однако реально ни то, ни другое условие выполнить невозможно. Измерение реальных проекционных данных проводится с определенной погрешностью; набор, проекций и значений в этих проекциях не для всех l (или γ) и θ (или β), а для конечного числа их дискретных значений. Расчет интегральных преобразований в реконструкторе томографа проводится в дискретной форме по дискретным операторам преобразования, которые действуют на требуемые функции, имеющие конечное число компонент. Невыполнение условий приводит к неустойчивости решения задачи реконструкции изображения, что выражается в виде значительных артефактов на томограмме.

Для уменьшения последствий негативного влияния невыполнения условий точного задания проекций и решения интегральных преобразований проводится фильтрация в методе обратного проецирования. При этом метод обратного проецирования имеет три варианта, отличающихся различными способами фильтрации: фильтрация сверткой, фильтрацияФурье, радоновскаяфильтрация.

Все алгоритмы с использованием интегральных преобразований имеют общее – замену непрерывных интегрально-дифферен- циальных операторов преобразования дискретными в конце процедуры вывода алгоритма реконструкции.

Метод реконструкции, основанный на разложении искомой функции (в нашем случае функции μ(х, у) ) в ряд, принципиально

иной. Дискретизацию здесь выполняют в самом начале: оценка функции сводится к нахождению конечного множества чисел.

Алгоритмы с использованием разложения в ряд можно разделить на две группы: итерационные и неитерационные.

Итерационные методы реконструкции изображения используют аппроксимацию восстанавливаемого объекта массивом ячеек равномерной плотности (равномерной μ ), представляющих собой не-

276

известные величины линейных алгебраических уравнений, свободными числами которых являются проекции. Решаются уравнения итерационными методами, что и дало название данному классу алгоритмов реконструкции. В настоящее время известно несколько итерационных методов реконструкции. Отличаются они, в основном, последовательностью внесения поправок во время итерации. Среди них наиболее известны следующие методы: алгебраический метод реконструкции томограммы (АRТ), метод одновременного итерационного восстановления (SIRT), итерационный метод наименьших квадратов (ILST) и мультипликативный алгоритм алгебраической реконструкции (MART).

Неитерационные методы основаны на способах решения системы линейных уравнений большой размерности путем приведения ее к более простой системе.

Выше рассмотренную классификацию методов реконструкции изображений по проекциям можно представить в виде схемы рис. 3.38.

Рис. 3.38. Классификация методов реконструкции изображений по проекциям

277

3.5.2. Особенности аналитического метода восстановления изображения с использованием обратного проецирования с фильтрацией сверткой

Алгоритмы, основанные на методе интегральных преобразований (аналитический метод) состоят из ряда этапов:

1)формулировка математической модели, в рамках которой известная и неизвестная величины представлены функциями, аргументы которых изменяются на континууме вещественных чисел;

2)нахождение формул обращения и определение по ней неизвестной функции;

3)адаптация формулы обращения к дискретизированным зашумленным данным.

Рассмотрим первый этап.

Обозначим двумерное распределение физической величины

функцией μ(х, у), вид которой априори не известен. Однако из-

вестно, что в большинстве приложений она ограничена в пространстве, т. е. равна нулю вне некоторой конечной области плоскости, обозначаемой далее через Ω. Можно полагать, что функция μ определена областью Ω, представляющей собой круг радиуса Т с центром в начале координат.

Иногда удобнее записывать функцию μ не в прямоугольных

Прямая на плоскости может быть задана двумя параметрами: расстоянием l (со знаком) от начала координат и углом θ относительно оси у (рис. 3.39).

Положение точки P на плоскости определяется ее координатами (х,у) или (r cosφ, r sin φ) , а положение рентгеновского луча – его расстоянием l от начала координат и углом θ.

Обозначим через P(l,θ) функцию двух переменных, значением которой для каждой пары (l,θ) служит интеграл от функции μ по прямой, заданной параметрами l и θ,

278

−T

где пределы интегрирования в общем случае зависят как от параметров l и θ, так и от области Ω.

y

− T (l)

Радиус T

Луч

Детектор

− T

Рис. 3.39. Параллельная геометрия сканирования

Функция P(l,θ) называется проекцией, а правая часть выражения

(3.120) – лучевой суммой. Физическая интерпритация выражения (3.120) для рентгеновского излучения показана в гл. 2. Аргументы функции μ(х,у) в выражении (3.120) взяты в координатах (l, t). Связь между неподвижной системой координат (х,у) и подвижной (l, t) задается формулами Эйлера

и

279

l = xcosθ+ y sin θ,

(3.122)

t = −xsin θ+ y cosθ.

Когда реконструируемый объект представлен в виде круга радиусом T, будем иметь

(−l, θ + π) задают одну и ту же прямую, поэтому

(3.125)

Следует также отметить, что аргументы функции P(l,θ) отлича-

ются от обычных полярных координат. В самом деле, рассмотрим две различные прямые, проходящие через начало координат под углами

θ1 и θ2 . В общем случае интегралы P(0,θ1 ) и P(0,θ2 ) от функции μ из выражения (3.120) по этим прямым будут различны, но этой

разницы не должно существовать, если аргументы интерпретировать, как полярные координаты.

Рассмотрим второй этап определения алгоритма реконструкции. Но прежде, чем перейти к выводу формул реконструкции – нахождению формул обращения выражения (3.120), необходимо показать, что такое обратная проекция, для чего требуется аппроксимация функции μ(х,у), т. е. рассмотреть проекционную теорему.

Прямое применение метода обратной проекции восстановления изображения в настоящее время практически не применяется, так как получаемое с его помощью изображение является грубой аппроксимацией исследуемого объекта. Однако этот метод является основой для понимания более сложных алгоритмов реконструкции, в том числе и алгоритма обратного проецирования с фильтрацией сверткой. Простейший вариант этого метода оценивает μ(х,у) в любой точке сечения посредством сложения лучевых сумм P(l,θ) для

всех l, проходящих через искомую точку.

280