Курсовая работа (т): Система автоматического регулирования соотношения скоростей двигателей

§  вызываемый им магнитный поток возбуждения Ф_ОУ [Вб];

§  ЭДС короткозамкнутой обмотки Е_КЗ [В]

§  Ток короткозамкнутой обмотки I_КЗ [А]

§  вызываемый этим током магнитный поток возбуждения Ф_КЗ [Вб];

§  напряжение на выходе ЭМУ U_В

Список промежуточных переменных для электродвигателя составляют:

§  ток якоря I_ДВ [A];

§  вращающий момент на валу двигателя M_Д ;

§  противо-ЭДС якоря U_ДВ [B];

§  ток возбуждения обмотки I_ВД [A];

§  поток возбуждения обмотки Ф_ВД [Вб];

§  ЭДС самоиндукции якоря E_Д.

Функционирование тахогенератора характеризуется двумя промежуточными величинами:

§  током возбуждения I_ВТГ [A];

§  и потоком возбуждения Ф_ВТГ [Вб].

В силу практически безынерционности электронного усилителя (по сравнению с остальными элементами системы) его внутреннее устройство не рассматривается, а связь между входной и выходной величинами будем считать мгновенной и пропорциональной.

Сигнальный граф

На основе полученного списка вершин строится сигнальный граф САР соотношения скоростей вращения двигателей (рис. 4).

Рис 4.сигнальный граф САР соотношения скоростей вращения двигателей

Система дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения являются одним из основных средств анализа свойств автоматических систем. Математическая модель САР имеет вид системы дифференциальных уравнений, связывающих значения отдельных переменных, действующих в реальной системе.

Элементы, входящие в САР могут быть различной природы: механические, электрические, электромеханические, пневматические, гидравлические, тепловые и т.д. Поэтому для составления дифференциальных уравнений элементов системы используются функциональные законы природы, выражаемые уравнениями Ньютона, Кирхгофа, Лагранжа и т.п. Количественная связь между переменными системы изучается в таких дисциплинах, как механика, электротехника, электромеханика, термодинамика и др. При составлении математической модели САР необходимо пользоваться руководствами по соответствующим дисциплинам.

Система дифференциальных уравнений САР соотношения скоростей вращения двигателей

Составим систему дифференциальных уравнений САР соотношения скоростей вращения двигателей.

.        Ток I_ДВ2, протекающий по обмотке якоря двигателя Д₂, определяется разностью напряжения на щётках якоря двигателя и противо-ЭДС E_ДВ2, вырабатываемой вращающимся якорем. Эта связь является инерционной и, в соответствии с законом электродинамики о явлении самоиндукции, описывается дифференциальным уравнением:

2.      Результирующий момент сил М_РЕЗ2, действующих на вал двигателя Д₂ равен разности момента M_Д2 и момента сопротивления нагрузки M_C2:

3.      Вращающий момент на валу двигателя M_ДВ2 определяется мгновенным значением тока I_ДВ2, протекающего по виткам якорной обмотки, и магнитного потока возбуждения Ф_ВД2, пересекающего витки якоря. Величина момента M_ДВ2 пропорциональна каждой из переменных Ф_ВД2 и I_ДВ2:

.        Угловое ускорение вала двигателя есть производная от скорости его вращения _Д2. В свою очередь, угловое ускорение согласно закону Ньютона, пропорционально действующему на него вращающему моменту М_РЕЗ2:

.        Якорь двигателя, вращающийся со скоростью ₂ в магнитном потоке возбуждения Ф_ВД2, фактически представляет собой генератор, вырабатывающий противо-ЭДС E_ДВ2. Поэтому вид уравнения, связывающего E_Я2, Ф_ВД2 и ₂ следующий:

.        Напряжение на щётках тахогенератора U_ТГ2 зависит как от магнитного потока возбуждения тахогенератора Ф_ВТГ2 так и от скорости вращения вала двигателя _ТГ2 = Ω_ДВ2. Согласно законам физики о явлении электромагнитной индукции напряжение U_ТГ2 пропорционально каждой из переменных Ф_ВТ2 и _ТГ2 т.е. пропорционально их произведению:

7.      Напряжение обратной связи U_R равно разности напряжений U_ТГ1 и U_ТГ2.

.        Напряжение на щётках тахогенератора U_ТГ1 зависит как от магнитного потока возбуждения тахогенератора Ф_ВТГ1 так и от скорости вращения вала двигателя _ТГ1 = Ω_ДВ1. Согласно законам физики о явлении электромагнитной индукции напряжение U_ТГ1 пропорционально каждой из переменных Ф_ВТ1 и _ТГ1 т.е. пропорционально их произведению:

Результирующий момент сил М_РЕЗ1, действующих на вал двигателя Д₁ равен разности момента M_Д1 и момента сопротивления нагрузки M_C1:

9.      Вращающий момент на валу двигателя M_ДВ1 определяется мгновенным значением тока I_ДВ1, протекающего по виткам якорной обмотки, и магнитного потока возбуждения Ф_ВД1, пересекающего витки якоря. Величина момента M_ДВ1 пропорциональна каждой из переменных Ф_ВД1 и I_ДВ1:

.        Угловое ускорение вала двигателя есть производная от скорости его вращения _Д1. В свою очередь, угловое ускорение согласно закону Ньютона, пропорционально действующему на него вращающему моменту М_РЕЗ1:

.        Якорь двигателя, вращающийся со скоростью ₁ в магнитном потоке возбуждения Ф_ВД1, фактически представляет собой генератор, вырабатывающий противо-ЭДС E_ДВ1. Поэтому вид уравнения, связывающего E_ДВ1, Ф_ВД1 и ₁ следующий:

Ток I_ДВ1, протекающий по обмотке якоря двигателя Д₁, определяется разностью напряжения на щётках якоря двигателя и противо-ЭДС E_Д1, вырабатываемой вращающимся якорем. Эта связь является инерционной и, в соответствии с законом электродинамики о явлении самоиндукции, описывается дифференциальным уравнением:

Рис. 5 Зависимость потока возбуждения короткозамкнутой обмотки ЭМУ от тока возбуждения

Поток возбуждения двигателя Ф_ВД1 зависит только от мгновенного значения тока возбуждения I_ВД1. Эта связь трудно выражается аналитически, поэтому представим её кривой намагничивания стали в статоре двигателя:

Поток возбуждения двигателя Ф_ВД2 зависит только от мгновенного значения тока возбуждения I_ВД2. Эта связь трудно выражается аналитически, поэтому представим её кривой намагничивания стали в статоре двигателя:

Напряжение на входе электронного усилителя U равно сумме напряжений задания U_З и напряжения обратной связи U_R, снимаемого с тахогенераторов:

Линеаризация системы дифференциальных уравнений

Роль линеаризации системы дифференциальных уравнений в исследовании САР

Если некоторые уравнения, входящие в систему дифференциальных уравнений САР, нелинейные, то исследование и решение системы уравнений затрудняется. Поэтому обычно стремятся заменить уравнения линейными так, чтобы получаемая при этом система линейных уравнений (линейная модель) приближённо отражала свойства САР при выполнении некоторых условий. Такую приближённую замену нелинейных уравнений называют линеаризацией системы дифференциальных уравнений.

Как правило, САР предназначена для поддержания некоторого вполне определённого значения управляемой величины. Такое значение называют номинальным.

Номинальному значению управляемой величины соответствуют номинальные значения всех внешних воздействий. Если после установления номинальных значений внешних воздействий в системе завершились переходные процессы, то такой режим работы САР называется номинальным режимом. В свою очередь номинальному режиму соответствуют номинальные значения внутренних переменных.

Линеаризация системы дифференциальных уравнений САР основана на двух предположениях.

Во-первых, предполагается, что при номинальной работе системы отклонения внешних воздействий от их постоянных номинальных значений мало, а следовательно и мало отклонение всех переменных в системе;

Во-вторых, линеаризация некоторого дифференциального уравнения предполагает, что все функции от переменных, входящие в данное уравнение не имеют разрыва и являются гладкими при номинальных значениях аргументов.

Линеаризация дифференциального уравнения сводится к линеаризации входящих в него функций. В общем случае линеаризация заключается в разложении функции  в ряд Тейлора в окрестности номинальных значений аргументов и отбрасывании членов ряда, порядок которых выше первого:

Линеаризация системы дифференциальных уравнений САР соотношения скоростей вращения двигателей

Система дифференциальных уравнений САР соотношения скоростей вращения двигателей содержит нелинейные уравнения под пунктами 3,5,6,8,10,12,16,17,20:

Линеаризация зависимости вращающего момента на валу двигателя M_ДВ2 от тока якоря I_ДВ2 и величины потока возбуждения принимает вид:

,

Для линеаризации этого уравнения необходимо найти частные производные Е_ДВ2 по переменным Ф_В2 и  в точке номинального режима:

, где

Линеаризованная зависимость:

, где

Аналогично п.5:

, где

Аналогично п.5:

, где

Аналогично п.3:

,

Аналогично п.5:

, где

Отметив на графике точку номинального режима и проведя касательную к графику в этой точке, получим линеаризованную зависимость магнитного потока в отклонениях (рис.), тангенс угла наклона касательной к оси i_У обозначим . Линеаризованная зависимость примет вид: