Курсовая работа (т): Система автоматического регулирования соотношения скоростей двигателей

, где

Для линеаризации этого уравнения необходимо найти частные производные Е_К по переменным Ф_У и  в точке номинального режима:

, где

Линеаризованная зависимость:

, где

Линеаризуем аналогично п.5:

, где

Взвешенный сигнальный граф и структурная схема линейной математической модели САР соотношения скоростей вращения двигателей

Цель перехода к операторной форме записи

Математическая модель САУ в виде системы линейных дифференциальных уравнений позволяет определить, как будет изменяться во времени любая переменная  в данной САУ, соответствующая какой-нибудь внутренней вершине сигнального графа, если зад закон изменения одного из внешних сигналов  - управляющего или возмущающего воздействия. В этом случае искомая переменная расcматривается как выход модели, а соответствующее внешнее воздействие - как её вход. Для определения закона изменения во времени данной выходной величины необходимо исключить все остальные переменные, являющиеся в данном случае промежуточными и получить одно дифференциальное уравнение, связывающее выходную величину с входной.

Операции исключения промежуточных переменных из системы дифференциальных уравнений очень трудоёмки и сложны, поэтому возникает потребность упростить эти операции. С этой целью в линейных математических моделях САУ обычно используют операторную форму записи, представляя уравнение каждой связи сигнального графа в виде так называемой передаточной функции.

Замена дифференциальных уравнений передаточными функциями позволяет представить систему линейных дифференциальных уравнений САУ в виде взвешенного сигнального графа, либо в виде структурной схемы. Эти две равносильные формы представления линейной математической модели САУ отличаются от обычной системы дифференциальных уравнений, наглядностью и позволяют заменить трудоёмкую процедуру исключения промежуточных переменных простыми правилами преобразования структурной схемы, либо сигнального графа.

Рисунок 8 - Взвешенный сигнальный граф САР соотношения скоростей вращения двигателей

Рисунок 9 - Структурная схема САР соотношения скоростей вращения двигателей

Система дифференциальных уравнений САР скорости вращения двигателя в операторной форме

Запишем в операторной форме систему линеаризованных дифференциальных уравнений САР соотношения скоростей вращения двигателей.

Разделим обе части на  и введём обозначения:

,

где коэффициент

заменим оператор дифференцирования в левой части сомножителем р и вынесем за скобки переменную i_ВГ за скобки:

Уравнение не является дифференциальным, поэтому его вид не меняется:

,

, , где

, , где

, где

, где

, где

,

, , где

, , где

, где

, где

, где К_УС - безразмерный

, где

, где

, где

, где

, где

, где

, где

, где

, где

, где

Взвешенный сигнальный граф и структурная схема САР соотношения скоростей вращения двигателей

На основе произведённых выше преобразований построим теперь взвешенный сигнальный граф САР соотношения скоростей вращения двигателей (рис. 8) и её структурную схему (рис. 9)

Основное отличие взвешенного сигнального графа от исходного состоит в том, что внутренняя вершина с несколькими входящими рёбрами интерпретируется как линейная зависимость переменной  от переменных , в то время как в обычном графе зависимость может иметь любую форму. Кроме того, вершины взвешенного графа соответствуют отклонениям переменных от их номинальных значений.

Передаточные функции САР соотношения скоростей вращения двигателей

Пусть  - некоторая входная переменная линейной математической модели САР, соответствующая какой-нибудь внешней вершине сигнального графа,  - одна из выходных переменных, соответствующая одной из внутренних вершин графа. Дифференциальное уравнение связывающее эти две переменные называется сквозным дифференциальным уравнением, а передаточная функция, соответствующее этому уравнению называется сквозной передаточной функцией, которая обозначается как .

Одним из входов математической модели является задающее воздействие. Его называют главным входом математической модели САР. Аналогично среди выходов выделяют управляемую величину. Её называют главным выходом математической модели САР.

Сквозную передаточную функцию связывающую главный вход с главным выходом называют главным оператором САР и обозначают .

Определение главного оператора САР соотношения скоростей вращения двигателей при помощи формулы Мейсона

Определим главный оператор САР соотношения скоростей вращения двигателей по формуле Мейсона, которая имеет следующий вид:

,

где  - определитель сигнального графа;

k - число прямых путей из вершины  в вершину ;

Wⁱ - передаточная функция i-ого прямого пути;

- минор i-ого прямого пути.

Прежде всего найдём определитель сигнального . Для этого необходимо выделить все замкнутые контуры. В сигнальном графе САР соотношения скоростей вращения двигателей их два со сквозными функциями:

Определитель сигнального графа имеет следующий вид:

Теперь необходимо найти передаточные функции всех прямых путей из вершины  в вершину  и их миноры. В САР соотношения скоростей вращения двигателей существует лишь один прямой путь с передаточной функцией:

Для определения минора прямого пути удалим из графа все вершины, лежащие на этом пути, а также все рёбра, входящие в удалённые вершины или исходящие из них. В результате получим граф, состоящий из двух изолированных вершин  и , который не содержит ни одного ребра - нуль-граф. Определитель данного графа равен .

Находим главный оператор:

Раскроем скобки и введём обозначения:

Окончательно получим:

.

Рис 10

Проверим единицы измерения:

Произведение  имеет размерность:

Произведение коэффициентов  имеет следующую размерность:

Коэффициент К₈ имеет размерность  так как связывает угловое ускорение с вращающим моментом.

Исходя из написанного выше, единица измерения знаменателей коэффициентов  равна: .

Постоянные времени всегда имеют размерность единиц времени, в данном случае секунд [с], поэтому числитель формулы для  безразмерен, а числители формул для  имеют размерность [c³], [c²], [c], таким образом , , .

Проверим размерность коэффициента K:

Коэффициент , поэтому ,

Главный оператор  имеет такую же размерность, что полностью совпадает с его физическим смыслом.

Определение сквозной передаточной функции с помощью правил преобразования структурных схем

Помимо формулы Мейсона существует ещё один способ нахождения сквозной передаточной функции, основанный на правилах преобразования структурных схем. Найдём с помощью него сквозную передаточную функцию связывающую напряжение  с главным выходом системы

Сквозная передаточная функция имеет вид:

Введём следующие обозначения: