7.Внедрение цилиндрического пуансона
вполупространство
Определение усилия внедрения жесткого пуансона в пла стичный металл представляет собой очень важную для теории и практики задачу. Известны неоднократные попытки ее решения как аналитически, так и экспериментально. Первые аналитические исследования этой задачи выполнили Прандтль [51, 52] и Генки [11]. Они использовали метод линий скольжения и определили давление на контакте, необходимое для начала внедрения жесткого пуансона в тело с бесконечными размерами, ограниченное одной плоскостью, называемое полупространством или полуплоскостью, при плоской и осесимметричной деформации. Деформируемое тело авторы наделили свойством идеальной пластичности. При анализе осесимметричной деформации [11] дополнительно приняты два допущения: поле линий скольжения в меридиальной плоско сти совпадает с полем для соответствующей плоской деформации; во всем объеме зоны пластической деформации справедлива гипо теза Хаара—Кармана о «полной пластичности».
Позднее разработку рассматриваемой задачи тем же путем продолжили Ивлев [26], Ильюшин, Пучков [27], Ишлинский [34], Соколовский [73], Томленов [78], Хилл [84], Шилд [87] и др. Исследованы случаи внедрения пуансона с торцом различ ной формы — плоским, выпуклым, вогнутым, клиновым. При анализе процесса внедрения пуансона с неплоским торцом авторы предполагали наличие в теле предварительно изготовленного углу бления (или выпуклости) по форме торца пуансона, а деформацию считали малой. Для осесимметричной деформации задача наиболее подробно разработана Томленовым. Им найдены выражения для расчета приближенного значения усилия при различной глубине погружения пуансона с плоским и сферическим торцом в разных контактных условиях.
Однако, несмотря на существенные достижения, использова ние метода линий скольжения не привело к решению задачи с достаточной полнотой. Главный недостаток всех решений, осно ванных на методе линий скольжения, состоит в том, что в замкну той форме они получены лишь для некоторых стадий процесса внедрения, причем при грубых допущениях. Это обстоятельство приводит к тому, что практическое использование результатов решения этим методом сводится по существу к решению каждый раз частной задачи с большим объемом вычислений. Серьезные за труднения возникают при наличии криволинейной контактной поверхности и при учете контактного трения, если его нельзя считать предельным.
Кроме того, методом линий скольжения нельзя учесть пере менность по объему очага пластической деформации сопротивле ния деформированию, являющуюся следствием неравномерности деформации и упрочнения металла или других причин.
Вработе [76] задача о внедрении пуансона с плоским торцом
видеально пластичный металл решена вариационным методом. Получены формулы для расчета усилия при плоской и осесим метричной деформации на любой стадии внедрения. Это решение отличается меньшими ограничениями в отношении возможности применения его результатов, однако оно выполнено с допущениями,
хотя значительно и упрощающими математические выкладки, но во многом далеко не соответствующими описываемому про цессу.
С иных позиций подошли к решению задачи Кузнецов и Лясников. Опираясь на результаты экспериментальных исследований напряженно-деформированного состояния упрочняющегося ме талла при внедрении в него цилиндрического пуансона и исполь зуя методы СМПД, авторы составили расчетную схему, которая
позволила им решить задачу |
для осесимметричной деформации |
с учером переменности о, по |
объему очага пластической дефор |
мации. |
|
Рассматриваем процесс внедрения цилиндрического пуансона с плоским и сферическим торцом в тело с бесконечными размерами, ограниченное одной плоскостью. Считаем, что внедрение происхо дит по нормали к плоскости с такой скоростью приложения на грузки, при которой силами инерции можно пренебречь, кроме того, принимаем схему жесткопластического тела.
Экспериментально установлено [38, 39], что с некоторой стадии внедрения форма наружной поверхности и внешние размеры зоны пластической деформации, возникающей в приконтактной обла сти деформируемого тела, мало зависят от формы торца пуансона. Различие в очертании внешней границы зоны пластической де формации можно считать несущественным уже при глубине h внедрения цилиндрической части пуансона, равной приблизи тельно 0,05 его диаметра d.
С момента, когда глубина h становится приблизительно рав ной d, форма и размеры зоны пастической деформации, прилегаю щей к торцу пуансона, мало изменяются с увеличением h. Внеш няя граница зоны пластической деформации в прилегающей к торцу пуансона области деформируемого тела представляет собой поверхность вращения, близкую к сферической, с центром на оси симметрии образуемой полости. На начальном этапе вне дрения пуансона с плоским торцом непосредственно под ним воз никает зона затрудненной деформации, так называемая затормо женная зона, сохраняющаяся в дальнейшем. Наиболее интенсивно деформация происходит в месте перехода дна полости в стенку и вблизи поверхности, которую можно приближенно представить полусферой, описанной радиусом, равным радиусу г пуансона, из центра его торца. При решении поставленной задачи указанную заторможенную зону будем считать как бы дополнением пуансона; таким образом, пуансон с плоским торцом уподобляем пуансону со сферическим торцом.
Отмеченные положения позволяют принять единую расчетную схему для обоих видов торца пуансона, показанную на рис. 44. Зона пластической деформации имеет форму полого полушара с наружным радиусом рг, определяемым (для начального этапа, когда происходит интенсивный рост этой зоны) по эмпирической зависимости
Р, = г [ 1,2 + 2,4 V (hid + 0,5)а + 0,25]. |
(11.48) |
При глубине h полости, равной d и более, значение рг считаем постоянным (рг *=» 2,5d).
Рис. 44. Расчетная схема к определению усилия внедрения цилиндрического пуансона в упрочняющийся металл
Для пуансона со сферическим торцом принятая схема справед лива при глубине h0его внедрения не менее 0,5d, т. е. когда пол ностью внедрена сферическая часть.
При использовании пуансона с плоским торцом глубина h должна быть не менее 0,1 d.
Воспользуемся дифференциальными уравнениями равновесия элемента, выделенного в зоне пластической деформации, которые
для осесимметричной |
деформации в принятой сферической си |
|
стеме координат имеют следующий вид: |
|
|
~ЩГ + T ' W 1 + |
Т *2рр ~ р* ~ ре+ |
Tw ctg Ф) = °; (11-49) |
+ 7 ’¥ + Т 13х<№+ |
“ Ре) ctg = °- |
(11,50) |
К уравнениям равновесия присоединяем условие пластичности
(рр — Р ф) |
(Рф — Ре) |
(Ре — Рр) + бТфр = 2а<. |
( 1 1 .5 1 ) |
Для сокращения записи в дальнейшем индекс у тфр писать не будем.
В уравнениях (11.49)—(11.51) четыре неизвестных переменных: рр; рф; р0 и т. Чтобы получить возможность решить (хотя бы при ближенно) эту систему уравнений, вводим допущение о равенстве между собой двух компонентов напряжений — оф и ое. С учетом этого допущения уравнения (11.49)—(11.51) получают следующий вид:
Р * |
+ |
р |
<Я» |
Л > + — ’ ct« f = 0 ; |
(11.49а) |
|
? |
+ |
1 |
* • |
+ |
3 т - 0 ; |
(11.50а) |
dp |
1 |
р |
дер |
1 |
р |
|
Рр - |
Рф = |
V 1 - |
3 (т/а,)2. |
(11.51а) |
||
Теперь число искомых величин равно числу уравнений, однако, как известно, решить эти уравнения без дополнительных условий невозможно. В качестве таких условий принимаем, что деформа ция монотонна, а о( и е* зависят только от одной координаты р, при этом они связаны зависимостью
at — (аг)пР — Се-8', |
(11.52) |
представляющей собой выражение аппроксимации В. М. Розен берг без последнего слагаемого. Зависимость е,- от р определяем выражением, отражающим характер изменения величины дефор мации вдоль оси симметрии
е , = in ~ , е,еЦ Р .^ 1>------ (Ц .5 3 )
p(eei _ i ) + р , — ее.-
где р = р/r и рг = рг/г; г] — среднее значение е,- на_ внутренней поверхности зоны пластической деформации (при р = 1). Фор мула (11.53) получена авторами на основе результатов эксперимен тального исследования деформированного состоянияразличных металлов в рассматриваемом процессе. Для расчета г\ имеем сле дующие выражения, установленные с учетом принятого выше допущения о независимости е(- от координаты <р: при внедрении пуансона со сферическим торцом на этапе погружения его цилин дрической части
In 2 -J- Л/r; |
(11.54) |
при использовании пуансона с плоским торцом
е| «=< Л/г. |
(11.55) |
2 4 3
Подставляя в уравнение (11.52) значение е,- из выражения (11.53) и выполняя преобразования, находим
а1 = 11— U p, |
(11.56) |
|
, ч |
с (р '-'е'). |
(11.57) |
Л = (Oi)np |
ее* ( Р г - 1 ) |
|
|
|
|
г |
е8; — 1 |
(11.58) |
U = С |
--;-------- . |
|
ееЧрг—О
Таким образом, по формулам (11.48), (11.54)—(11.58) можно вычислить приближенные значения радиуса внешней границы зоны пластической деформации, а также at в каждой точке этой зоны на любой стадии внедрения пуансона (за исключением на чального этапа в указанных выше пределах).
Однако данных сведений недостаточно для решения уравне ний (11.49а)—(11.51а). Воспользуемся этими уравнениями для выявления характера изменения т по координатам р и q>, что по зволит установить недостающие для решения условия.
Продифференцировав (11.49а) по <р, (11.50а) по р, (11.51а) по ф, а затем дважды по ф и р, и вычтя из первого из полученных уравнений второе, с учетом результатов дифференцирования (11.51а) имеем
„ |
д 8 [а,- V \ — 3 (т/0, )2] |
, |
0 |
д [ а (- Y 1 — 3 (T /a * )2] |
, |
1 |
дрду |
+ |
z |
ду |
"г |
, |
àH |
2 д*х |
, |
д% . |
л |
дт |
X |
Л |
/11 cm |
+ |
1 ^ - Р 2- ^ + |
|
- ¥ с1ё Ф - 4 |
|
р ж |
- 1й^ |
= 0. |
(11.59) |
|
Уравнение (11.59) содержит лишь одну искомую величину т, являющуюся функцией двух независимых переменных р и ф. Однако ввиду сложности оно не может быть решено строго мате матически. Имея в виду ограниченное использование результатов решения, найдем приближенное выражение функции т.
Представляем т в виде произведения двух функций, каждая из которых содержит одну независимую переменную
т = ф(ф) ф, (р). |
(11.60) |
Функции ф (ф) и фх (р) по виду выбираем такими, чтобы они отра жали известные общие сведения о характере изменения касатель ных напряжений на контактной поверхности и внутри зоны пла стической деформации, а также были в согласии с исходными по ложениями решаемой задачи. Параметры этих функций опреде ляем из следующих условий: на внутренней (р = г) и внешней (р — рг) границах зоны пластической деформации (исключая область оси симметрии) т должно быть равным своему максималь
ному значению (^max ^J’V'З) или близким к нему; функции