должны удовлетворять (хотя бы приближенно) уравнению (11.49). Для упрощения полагаем о,- постоянным по объему зоны пласти ческой деформации.
Функцию ф (<р) принимаем в следующем виде: ф (<р) = Агфе- '*’. Она имеет максимум при ф = 1 и с увеличением ф от 1 до я/2 ее значение незначительно уменьшается. Коэффициент k находим
из условия |
равенства |
функции |
ф (ф) |
максимальному |
значению |
|||
касательного |
напряжения |
при |
ф = 1, |
в результате k — 1,57о£. |
||||
Следовательно, окончательно |
получаем |
|
|
|||||
|
|
|
ф(ф) = |
1,57фе V |
(11.61) |
|||
Формула |
(11.61) предопределяет диапазон изменения |
функции |
||||||
Фх (р) от —1 до +1- |
Крайние значения функция фх (р) должна |
|||||||
иметь на |
границах |
зоны |
пластической деформации, |
причем, |
||||
в соответствии с общепринятым условием назначения знака каса тельного напряжения, на указанных границах знаки функции
необходимо принимать |
разными. |
|
Функцию фх (р) представляем гиперболой вида |
|
|
Ь |
(P) = а/(Р - Ь) + с. |
(11.62) |
Для определения коэффициентов а, Ь, с используем граничные значения функции фх (р) и уравнение (11.59). При этом вначале
из уравнения |
(11.62) выразим а и b через с, придавая р и % |
(р) |
|||
их граничные значения (при р = |
1 фх (р) = —1; при р = |
рг = |
5 |
||
Фх (р) = +1). |
а затем вычислим |
с по уравнению |
(11.59), |
преоб |
|
разованному |
с учетом выражений (11.60), (11.62) |
и значений т |
|||
на границах зоны пластической деформации. Найденные таким путем коэффициенты a, b и с различны для разных значений ф, что является следствием приближенности решения. С целью получе ния наиболее простых конечных расчетных зависимостей в даль нейшем решении, принимаем для всего диапазона изменения ф одинаковые численные значения a, b и с; ими считаем значения, установленные для = я/4 : а = —2,5; b — 0; с = 1,5.
Таким образом, имеем следующее приближенное выражение функции т:
(11.63)
которое используем при решении уравнений (11.49а)—(11.51а).
Множитель УI — 3 (т/аг)2 в правой части уравнения (11.51а) разлагаем в ряд
(11.64)
в котором сохраняем в дальнейшем три слагаемых.
После дифференцирования (11.63) по <р и р и подстановки зна
чений частных производных |
|
и |
а также выражения раз |
|||||
ности рр — рф из |
(11.51а) с учетом (11.64) в |
уравнения |
(11.49а) |
|||||
и (11.50а) получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ТГ + J |
' -57(Ч - «Р> ( |
^ |
+ <=) (е-ф - |
Ч-е-) + |
||||
+ 4 - (л - |
up) [ 1 - |
4 |
1,572ф2е- 2ф( ^ |
_ |
+ |
с)2 - |
|
|
- |
T l '67 V |
e - * - ( ^ - + c)<] |
+ |
|
|
|
||
+ |
1,57 (T) - |
up) фе-ч- (-=-2— _|_ с) = |
0; |
(11.496) |
||||
Р |
|
|
|
\р — ь |
|
/ |
|
|
1 дРф |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ч— |
1,57 (-л — up) фе-ч ( --- -----|-с) = 0. |
(11.506) |
||||||
р |
|
|
|
' р — b |
/ |
|
|
|
В результате интегрирования (11.496) и (11.506) и преобразо вания находим:
Рр = 2ир — 2г| In р — 1,57 (е-ч>— <ре~ч>+ фе-4'ctg ф)/х +
|
+ |
7>39ф2е-2<*>/2 + 4,56ф4е - 4ч>/3 + Ф, (ф); |
|
(11.65) |
|||
|
р„ = |
е-ч> (ф + 1) {4,71 (л - |
up) |
+ с) + |
|
||
|
|
+ 1’5?р [£| г ^г - |
ыс] } + Ф2(р>’ |
|
О 1-66) |
||
где |
(ф), Ф2 (р) — функции, |
подлежащие |
определению; |
||||
|
Р~ Ь — au In (р — b) -f- сх\ In р — cup |
при |
b Ф 0; |
(11.67) |
|||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
h — (ст1— au) 1° P — |
■=?— |
CHP при 6 = |
0; |
(11.68) |
||
|
|
|
P |
|
|
|
|
/ а, / 8 — функции тех же параметров, что и Iv но имеют громозд кую запись; в связи с отсутствием их в окончательных расчетных формулах выражения этих функций не приводим.
Для определения вида функции Ф2 (р) подставляем выражения рр и pv из (11.65) и (11.66) в (11.51а)
2ыр — 2г| In р — 1,57 (е- **1— фе—^ + <pe—^ctg ф) /х+
+ 7,39ф2е -2ч>/2 + 4,56ф4е -4<Р/3 + Фх (ф) -
- е-»(ф + 1) {4,71 (ц - up) |
+ с) + |
Относим (11.69) к оси симметрии (ф = 0), |
при |
этом |
учитываем, |
||||
что |
lim ф ctg ф = 1, в |
результате |
получаем |
|
|
|
|
2«р — 2л In р — 3,14/1 + Фх (0) - |
{4,71 (г, - |
цр) |
|
+ |
с) + |
||
|
+ 1>57р {-a(ub— т|) |
|
|
|
|
|
|
|
. <Р — *)а |
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
Ф, (р) = 2ир - 2т) In р - 3,14/х - |
{4,71 (л - |
up) |
|
+ |
с) + |
||
|
+ 1,57р |
- «с]} - (л - |
ир) + |
Clt |
|
(11.70) |
|
где |
Сх — постоянная, |
равная значению функции |
Фх (ф) при |
||||
Ф = |
0. |
|
|
|
|
|
|
Для определения Сх используем результаты решения Ляме [79] задачи о сферическом сосуде, находящемся под действием внутреннего и внешнего давлений. Согласно этому решению при отсутствии внешнего давления в сосуде с бесконечным наружным радиусом пластическая деформация начинается на внутренней поверхности, при этом внутреннее давление приближенно состав ляет (2/3)'от.
В рассматриваемой задаче внешнюю границу зоны пластической деформации в области оси симметрии можно принять за внутреннюю поверхность указанного сферического сосуда. Следовательно, при
р = ре на оси симметрии рр — (2/3) <тт и, поскольку на оси т = = 0, согласно уравнению (11.51а) рф = —(1/3) <хт. С учетом этого условия находим из (11.66) и (11.70)
С, = 2л In рг - 2ирг+ -J- аг+ 3,14/ip#, |
(11.71) |
где /,- — значение /, |
при р = рг. Подставляя Ф2 (р) из |
(11.70) |
||||
в (11.66) и принимая |
во внимание (11.71), получаем |
|
||||
|
Др = |
"§■ 0т + (фе“ ф + |
е_Ф— *)х |
|
||
х { |
4 , 7 1 ( г ! - « р ) ( ^ + |
с) + |
1, |
a (ub — к]) — ис |
|
|
+ |
3,14 (7гРг - h) + 2т| In |
- |
2и (рг — Р) — (Л — up). |
(11.72) |
||
Теперь легко записать выражение для рр, воспользовавшись
условием пластичности |
(11.51а) и уравнением (11.72), |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Рр = |
“ Г ° |
т + |
(фе“ Ф + |
е _ Ф — |
|
х |
|
|
|||
х {4,71 ( „ - „ р , |
( т^ |
+ с )+ |
1 ,5 7 р [ 5 |^ > - < « ] } |
+ |
|||||||||||
+ |
3,14 (/ipe — h) + |
2TI 1п-^ - |
2ы (рг — р) — (л — ыр) + |
||||||||||||
|
|
+ |
(Л |
- up) [l - |
7,39ср2е -2Ф |
+ |
с)2]112 ■ |
(П.73) |
|||||||
Для |
оси |
симметрии |
(<р = |
0) |
из |
(11.72) и |
(11.73) |
находим: |
|||||||
Рф = х |
^т + |
3,14 ( /,р г - |
h) + |
2л 1п4- - 2« (рг — Р) — (Л — мр): |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.72а) |
рр = |
- |- |
ат + |
3,14 (IfPg- |
h) + 2л 1п-|- - |
2м ((>„ - |
р). |
(11.73а) |
||||||||
Разность |
|
/,- |
— /, |
при |
b +- 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
IrPg - |
Ii = |
а (-£- — н) In ^ 7 + |
Л ( с “ +) 1п-|- — |
(Рв — P)'- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.74) |
при 6 = |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/,х - |
/, = мл ^ |
|
+ |
И |
- |
ои) In |
|
см (рг - |
р). |
(11.75) |
|||||
|
г |
|
|
|
РгР |
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
Подставив |
в |
(11.75) |
указанные |
выше |
численные значения |
||||||||||
а и с, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/,р |
|
|
- 2,5л 02— £ + |
(1.5Л + |
2,5м) In |
|
- 1,5м (Рг - р). |
||||||||
г |
|
|
|
|
|
РгР |
|
|
|
|
|
Р |
|
(11.75а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характер изменения рр и рф вдоль оси симметрии, определяе мый формулами (11.72а) и (11.73а), хорошо виден из графиков (рис. 45), построенных по результатам расчета при следующих
исходных |
данных: |
материал |
деформируемого тела — армко- |
железо; |
<тт = 22,9 |
_кгс/мм2; |
(а,)Пр = 89,5 кгс/мм2; е'( = 0,7; |
с = 58,3 |
кгс/мм2; |
рг = 5. |
|
Переходим к определению усилия, необходимого для внедре ния пуансона. Общее усилие внедрения Р представляем в виде суммы трех слагаемых:
|
|
Р = Р1 + Р2 + Р3, |
|
(П.76) |
||
где Р1 — составляющая |
от давления |
рр на сферической поверх |
||||
ности с радиусом р = |
1; Р 2 — составляющая |
от |
касательных |
|||
напряжений на той же по |
|
|
|
|
||
верхности; |
Р3 — усилие, |
не |
го 0 |
00 80 ПО |
160 |
200Рожв,кгс/м^ |
обходимое |
для преодоления |
/ |
|
|
|
|
трения по боковой цилиндри |
■ 2 |
|
гу |
1У |
||
ческой поверхности пуансона. |
|
|||||
Для определения Рг из |
-3 |
|
|
|
||
вестным приемом составляем |
|
г•р |
|
|||
следующее |
исходное уравне |
-4 |
|
|||
ние: |
Я / 2 |
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Рх = яг2 |
J pp=i sin 2<р dcp, |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(.11.77) |
Рис. 45. Изменение рр и рф вдоль оси сим |
||||
|
|
метрии |
|
|||
где р-=1 — значение рр, определяемое уравнениями (11.73) и
(11.75а) при р = 1. Опуская громоздкие выкладки, приводим результат интегрирования уравнения (11.77) (при этом вместо а и с подставлены их численные значения)
Рх = яг2 Г0,09<т/к -f- 0,67<хт — 7,85т] BLZLL_(_ 0,30 (1,5ы — 2,5ti) +
[ |
|
Рг |
|
+ (6,71г) + |
7,85«)1прг - |
6,71и(рг - 1)], |
(11.78) |
где <х(К — значение а,- на |
контактной |
поверхности (для |
пуансона |
с плоским торцом — на условной поверхности контакта), согласно
уравнению (11.56) о(К = — и. Исходное уравнение для |
опреде |
ления Р 2 имеет вид |
|
Я /2 |
|
Р3 — 2яг2 J | тк | sin2 ф dcp, |
(11.79) |
о |
|
где тк — касательное напряжение на контактной сферической поверхности. Согласно (11.63) для тк имеем:
тк = 1,57а(Кфе_ч>.