Материал: Спецглавы высшей математики. численные методы. Пантелеев И.Н

Числа a* , a* принято записывать с одинаковым числом знаков после запятой.

Пример 3.

a 1.123 0.004

a 1.123 4 10 3

1.123 0.004 a 10123 0.004

Информацию о том, что a* является приближенным значением числа а относительной погрешностью a* записывают в виде:

a a* 1 a*

Пример 4.

1.123 1 0.003 a 1.123 1 0.003

1.4. Вычислительная погрешность

Далее для краткости будем обозначать абсолютную погрешность числа как ex , относительную погрешность x .

□Погрешность вычитания чисел x ex , y ey

абсолютная погрешность

y ey x y ex eyz x ex

относительная погрешность

относительная погрешность

10

Аналогично получают формулы для оценки абсолютной и относительной погрешностей для функций, зависящих от n переменных.

1.5. Понятия о погрешности машинных вычислений

Для представления чисел в памяти компьютера применяют два способа.

Пусть в основу запоминающего устройства положены однотипные физические устройства, имеющие r устойчивых состояний, называемых регистрами. Причем каждому устройству ставится в соответствие одинаковое количество k регистров и кроме того, с помощью регистров может фиксироваться знак. Упорядоченные элементы образуют разрядную сетку машинного слова: в каждом разряде может быть записано одно из базисных чисел 0,1,..., r -1 (одна из r цифр r-ой системы счисления) и в специальном разряде отображен знак «+» или «-». При записи чисел с фиксированной запятой кроме упомянутых r параметров (основания системы счисления) и k (количество разрядов, отводимых под запись числа) указывается еще общее количество l разрядов, выделяемых под дробную часть числа. Таким образом, положительное вещественное число а, представляющее собой в r -ой системе бесконечную, непериодическую дробь, отображается конечной последовательностью

1rk l 1 2rk l 2 k l r0 k l 1r 1 k l r l 1 k r 1

11

Диапазон представляемых таким способом чисел определяется числами с наибольшими цифрами во всех разрядах, т. е. наименьшим числом r 1 r 1 r 1 и наибольшим

r 1 r 1 r 1 , а абсолютная точность представления

— есть оценка величины a a , зависящая от способа ок-

ругления. Абсолютная точность представления вещественных чисел с фиксированной запятой одинакова в любой части диапазона. В то же время относительная точность представления числа может значительно различаться в зависимости от того, берется ли а близким к нулю или к границе диапазона.

Пример 5. Рассмотрим запоминающее устройство с фиксированной запятой, состоящее из k 7 элементов и имеющее r = 10 ( r = 0, 1,..., 9). Будем считать, что общее количество разрядов, выделяемых под дробную часть, l = 3, под знак — один разряд, под целую часть — три разряда (рис.I.2).

Знак числа / Целая часть числа / Дробная часть числа

Рис. I.2. Схема машинного слова запоминающего устройства с фиксированной запятой.

Тогда наибольшее число, которое можно сохранить в данном запоминающем устройстве, равно 999.999, а наименьшее равно -999.999. У любого числа из указанного диапазона, являющегося бесконечной периодической дробью, вне зависимости от его величины после запятой сохраняется только 3 цифры. Поэтому абсолютная точность представления чисел a 1 = 1.123456 и a2 = 999.123456 оказывается

одинаковой.

1 1.123456 1.123 0.000456 .

2 999.123456 999.123 0.000456 .

12

Относительные погрешности представления этих чисел в запоминающем устройстве будут различны:

1 1 0.04 %, a2

2 2 0.5 10 4 %, a2

В основе часто употребляемого представления с плавающей запятой лежит экспоненциальная форма записи числа:

a M r p

где r-основание, p порядок, M мантисса r 1 M 1 .

Если под мантиссу выделяется l r ичных элементов, а под порядок m , то в системе записи с плавающей запятой вещественное число a представляется конечным числом.

a 1r 1 2 r 2 l r l r ,

где целое число из промежутка rm , rm 1; 1 1; ;r 1 , i 2, ,l.

Структура машинного слова запоминающего устройства с плавающей запятой представлена на рис.I.3

Рис. I.3. Схема машинного слова запоминающего устройства с плавающей головкой

Числа r rm определяют границы допустимого числового диапазона. Относительная точность представления вещественных чисел равна

т. е. относительная точность одинакова в любой части числового диапазона и зависит лишь от числа разрядов, отводимых под мантиссу числа. Например для записи числа в 48разрядном машинном слове БЭСМ-6 40 двоичных разрядов выделялись под мантиссу, 6 — под порядок числа и 2 — под знаки мантиссы, r 2, l 40, m 6. Следовательно, точ-

ность представления чисел с плавающей запятой не хуже2 39 10 12 , граница машинного нуля 2 64 10 19 , машин-

ной бесконечности 263 .

Пример 6. Рассмотрим запоминающее устройство, состоящее из k 8 элементов и имеющееr 10 r 0,1, 9 . Будем счи-

тать, что общее количество разрядов, выделяемых под дробную частьl 5 , под знак порядка числа — 1 ячейка, под знак мантиссы числа — 1 ячейка, под порядок — 2 ячейки. Оценим точность представления чисел a1 1.123123 и

a 2 999123123 .Запишем числа в форме представления с плавающей запятой:

a1 0.1123123 101 , a 2 0.999123123 103 ,

В запоминающем устройстве числаa1 , a 2 будут записаны в виде, показанном на рис. I.4.

14

Рис. I.4. Представление чисел a1 ,a 2 с плавающей запятой в запоминающем устройстве.

Абсолютные погрешности чисел равны:

1 0.1123123 0.11231 101 0.23 10 5 101 ,

2 0.999123123 0.99912 103 0.31 10 5 105.

Относительные погрешности чисел равны:

15

II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2.1. Общие сведения и основные определения

где функция F x определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале a, b . .

Определение 1. Всякое число a, b , обращающее функцию F x в ноль, называется корнем уравнения (II.1).

Определение 2. Число называется корнем k-ой кратно-

Определение 3. Однократный корень называется простым. Определение 4. Уравнение F x 0 и G x 0 называются

равносильными (эквивалентными), если множества решений данных уравнений совпадают.

Нелинейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

Определение 5. Уравнение (II.1) называется алгебраическим, если функция F(x) является алгебраической.

Путем алгебраических преобразований из всякого алгебраического уравнения можно получить уравнение в канони-

где a 0 ,a1 , ,a n действительные коэффициенты уравне-

ния, x-неизвестное. Из алгебры известно, что всякое алгебраическое уравнение имеет, по крайней мере, один вещественный или два комплексно сопряженных корня.

Определение 6. Уравнение (II.1) называется трансцендентным, если функция F x не является алгебраической.

Определение 7. Решить уравнение (II.1) означает: 16

1.Установить, имеет ли уравнения корни.

2.Определить число корней уравнения.

3.Найти значение корней уравнения с заданной точно-

стью.

2.2. Отделение корней

Определение 8. Отделение корней — процедура нахождения отрезков, на которых уравнение (II.1) имеет только одно решение. В большинстве случаев отделение корней можно провести графически. Для этого достаточно построить график функции f x и определить отрезки, на которых эта функция

имеет только одну точку пересечения с осью абсцисс.

В сомнительных случаях графическое отделение корней необходимо подкреплять вычислениями. При этом можно использовать следующие очевидные положения:

если непрерывная функция принимает на концах отрезка a, b значения разных знаков (т. е. F(a) F(b) < 0), то уравне-

ние (1) имеет на этом отрезке по меньшей мере один корень;если функция F(x) к тому же и строго монотонна, то ко-

рень на отрезке единственный.

2.3. Метод половинного деления

Пусть уравнение (II.1) имеет на отрезке [а, b] единственный корень, причем функция F(x) на данном отрезке непрерывна.

Разделим отрезок [а, b] пополам точкой c = (a+b)/2. Если F x 0, то возможны два случая:

1.Функция F(x) меняет знак на отрезке [а, с].

2.Функция F(х) меняет знак на отрезке [с, b].

Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак и, продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

17

Рис. II.1 К объяснению метода половинного деления

Пример 1. Найти, используя пакет MATLAB, методом половинного деления корень уравнения x 4 11x3 x 2 x 0.1 0.

1. Создайте файл Func.m (листинг II.1) содержащий описание функции f x x 4 11x3 x2 x 0.1.

Листинг II.1. Файл Func.m Function z Func(x)

z x.^4 11* x.^3 x.^2 x 0.1;

2.Создайте файл Div2.m (Листинг II.2), содержащий описание функции, возвращающей значение корня уравнения f(x) = 0 методом половинного деления.

Листинг II.2 . ФайлDiv2.m Function z Div2 f , x1, x2,eps ;

0 0 F имя m-файла, содержащегоописаниефункцииf(x);

%x1 - левая граница отрезка, на котором производится поиск решения уравнения.

%x2- правая граница отрезка, на котором производится поиск решения уравнения.

%eps - точность решения.