Курсовая работа (т): Специальные методы интегрирования рациональных выражений

Специальные методы интегрирования рациональных выражений

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Курский государственный университет

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Математический анализ»

«Специальные методы интегрирования рациональных выражений»

Выполнила:

Олимпиева Н.И.

Курск 2014

Содержание

Введение

. Метод Острограцкого

.1 Алгоритм Евклида

.2 Примеры

. Интегрирование биноминальных дифференциалов

.1 Тригонометрические и гиперболические подстановки

.2 Примеры

Заключение

Список литературы

Введение

Класс рациональных функций очень широк, поэтому универсального способа их интегрирования быть не может. В этой курсовой попытки выделить наиболее характерные виды рациональных подынтегральных выражений и поставить им в соответствие метод интегрирования.

Эта тема является одной из главных в интегральном исчислении. Найти интеграл для функции, или выразить её первообразную через элементарные функции довольно сложно.

Целью курсовой работы является показать, как интегрируются рациональные выражения.

В соответствии с целью исследования определены следующие задачи:

) Выделить основные виды рациональных выражений;

) Показать приемы интегрирования этих выражений;

) Подобрать и прорешать типовые задачи по теме исследования.

1. Метод Остроградского

Данный метод интегрирования был впервые предложен известным русским математиком М.В. Остроградским в 1844 г.

Если знаменатель правильной рациональной дроби P(x)Q(x) имеет кратные корни, особенно комплексные, то интегрирование такой дроби обычно связано с громоздкими выкладками. В этом случае целесообразно пользоваться формулой Остроградского. Существенная особенность метода Остроградского состоит в том, что он позволяет без нахождения нулей знаменателя правильной рациональной дроби выделить рациональную часть неопределённого интеграла от такой дроби.

Пусть P_m(x) и Q_n(x) - многочлены с действительными коэффициентами степени m ≥ 0 и n > 0 соответственно, причём m < n и многочлен Q_n(x) имеет не совпадающие с нулями многочлена P_m(x), вообще говоря, кратные нули (действительные и комплексно сопряжённые). Тогда интеграл от правильной рациональной дроби можно представить в виде суммы рациональной и трансцендентной частей:

остроградский интеграл алгоритм дифференциал

 - наибольший общий делитель (НОД) многочлена  и его производной ;  = , а - многочлены с неопределенными коэффициентами. Если корни  известны, то известны и многочлены  и .

Прежде всего, находим Q₁ как общий наибольший делитель функции  и её производной  (например, с помощью алгоритма Евклида);

После этого в равенстве (формуле) Остроградского остается определить два многочлена  и . Так как степени искомых многочленов  и  соответственно ниже степеней найденных уже многочленов  и ., то мы их в равенство Остроградского запишем с неопределенными коэффициентами;

Продифференцируем обе части этого равенства и получим следующее тождество: =

После приведения к общему знаменателю, приравняв друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях левой и правой частей этого тождества, получим систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов искомых многочленов и . Решая эту систему, найдем неизвестные коэффициенты (а значит, и сами многочлены).

Теперь для получения интеграла от первоначально заданной дроби остаётся проинтегрировать дробь , которая выражается уже только через трансцендентные функции (логарифмы и арктангенсы).

Итак, в равенстве (формуле) Остроградского имеем:

,  и  - правильные рациональные дроби,

- общий наибольший делитель и ,  и - многочлены, находимые методом неопределенных коэффициентов.

Многочлен  может быть найден без разложения как наибольший общий делитель многочленов  и с использованием алгоритма Евклида.

.1 Алгоритм Евклида

Пусть необходимо найти НОД многочленов  и . Не ограничивая общности, будем считать, что степень  не выше степени .

Многочлен  представим в виде:

где  - остаток от деления на . Тогда степень  меньше степени делителя .

Далее, в результате деления на  получим:

Причем степень  меньше степени делителя .

При каждом делении степень остатка будет снижаться по крайней мере на единицу, поэтому на определенном шаге мы получим нулевой остаток, т.е.

Последний отличный от нуля остаток является наибольшим общим делителем многочленов  и .

Достаточно доказать два утверждения:

)        Многочлены  и  делятся на , т. е.  один из делителей  и ;

)        Многочлен  делится на любой делитель  многочленов  и , т.е.  наибольший общий делитель указанных многочленов.

Для доказательства первого утверждения заметим, что в силу  , а тогда, в силу ,  делится на .

Поднимаясь вверх по цепочке равенств  мы докажем, что  и  делятся на .

Докажем второе утверждение.

Пусть  - произвольный делитель многочленов  и . В силу равенства  делится на , а тогда, в силу равенства (2),  делится на . Опускаясь по цепочке равенств (1) - (k), докажем, что  x делится на .

Итак, метод Остроградского выделения рациональной части интеграла от правильной дроби не связан непосредственно с операцией интегрирования и состоит в сочетании нахождения НОД знаменателя этой дроби и его производной с методом неопределённых коэффициентов. Но методом Остроградского удобно находить и трансцендентную часть этого интеграла, так как при этом приходится интегрировать более простую правильную дробь, знаменатель которой имеет лишь простые нули. Поэтому интегрирование можно свести в итоге к нахождению интегралов от простейших дробей только первого и третьего типов.

Комментарий:

НОД - наибольший общий делитель

Алгоритм метода неопределённых коэффициентов:

.        Раскладываем знаменатель на множители.

.        Раскладываемую дробь представляем в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

·        Если в знаменателе что-то вроде: , количество множителей роли не играет и не играют роли степени этих множителей (хоть 221ая степень), то дробь представится в виде суммы простейших дробей первого и второго типов: