Курсовая работа (т): Специальные методы интегрирования рациональных выражений

a, b, c - числа,  - неопределенные коэффициенты. Какая степень - столько и слагаемых.

·        Если в знаменателе что-то вроде:  количество квадратичных выражений роли не играет, то дробь представится в виде суммы простейших дробей третьего типа:

, q, r и s - числа, P, Q, R и S - неопределенные коэффициенты.

·        Если в знаменателе что-то вроде: , количество множителей роли не играет и не играBBBют роли степени этих множителей, то дробь представится в виде суммы простейших дробей третьего и четвертого типов:

p, q, r и s - числа,  - неопределенные коэффициенты.

·        Если собрать все: ,то дробь представится в виде суммы простейших дробей всех четырех типов:

.        Приводим полученную сумму простейших дробей с неопределенными коэффициентами к общему знаменателю и группируем в числителе слагаемые при одинаковых степенях х.

.        Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х. При этом получаем систему линейных алгебраических уравнений с неопределенными коэффициентами в качестве неизвестных:

.        Решаем полученную систему уравнений любым способом (при необходимости смотрите статью решение систем линейных алгебраических уравнений, методы решения, примеры), который нравится Вам, находим неопределенные коэффициенты.

.2 Примеры

Покажем на примерах работу по методу Остроградского:

.        Вычислить интеграл:

Разложим правильную рациональную алгебраическую дробь на сумму простейших дробей:

Следовательно,

Последний интеграл вычислим применяя метод Остроградского:

Дифференцируем и приводим к общему знаменателю:

Получаем:

1.      Вычислить интеграл:

Подынтегральная функция - неправильная рациональная дробь. Разделив многочлен  на многочлен , получим частное и остаток  Следовательно, данная рациональная дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби следующим образом:

Многочлен  имеет действительный корень  Разделив  на , получим

Трёхчлен  не имеет действительных корней, поэтому разложение полученной правильной рациональной дроби на элементарные имеет вид:

Из равенства дробей следует равенство многочленов:

Положив здесь, получим , . Приравняв коэффициенты при  и свободные члены многочленов, получим:

откуда , . Таким образом, подынтегральная функция представима в виде:

ледовательно:

Ответ:

.        Вычислить интеграл:

В этом случае многочлен, поэтому

Следовательно, существуют многочлены второй степени

Для которых верно равенство:

Рациональную дробь  удобно сразу представить в виде суммы элементарных дробей и переписать формулу Остроградского:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему:

Решая эту систему, находим , , , , ,

2. Интегрирование биноминальных дифференциалов

Согласно свойству неопределенного интеграла, подынтегральное выражение является дифференциалом первообразной подынтегральной функции. Если подынтегральная функция рациональная, то подынтегральное выражение иногда называют рациональным дифференциалом, а если она иррациональная, то - иррациональным дифференциалом.

Т.е. при дифференциальный бином будет рациональным дифференциалом, а если хотя бы один из показателей степени не является целым числом, то дифференциал будет иррациональным.

Биномиальным дифференциалом называется выражение:

,

где , , и - рациональные числа, - постоянные, отличные от нуля.

Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала  может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:

1.      Если Р - целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

, где  - наименьшее общее кратное знаменателей дробей  и ;

.        Если  - целое число, то подстановка , где  - наименьшее общее кратное знаменателей дробей  и

.        - целое число, то подстановка , где  - знаменатель дроби .

Рассмотрим подробнее некоторые случаи, когда подынтегральная рациональная функция содержит бином (двучлен) вида

.        Если эта функция является многочленом относительно переменного , то интеграл от такой функции по  будет линейной комбинацией интегралов . Каждый из таких интегралов может быть найден путём разложения  по формуле бинома Ньютона.

В частном случае  поведением под знак дифференциала множителя  найдём:

Если показатель степени  можно представить в виде , то целесообразно сначала применить интегрирование по частям, обозначив

Используя этот пример после  последовательных интегрирований по частям, мы придём к интегралу , вычисляемому при помощи формулы вида.

Отметим, что  остаётся в силе при  и , а при  и . В частном случае, когда бином линейный  и