Курсовая работа (т): Специальные методы интегрирования рациональных выражений
, причем слагаемое в сумме при 
(это слагаемое присутствует при)
следует заменить на выражение:
2. Если 
, и 
, то, обозначив 
и 
, с учетом (
) можно написать:
3. Если подынтегральное
выражение 
включает произведение двух линейных
биномов, то заменой переменного 
это выражение можно привести к уже
рассмотренному виду
4. Рассмотрим подынтегральную
функцию 
некоторых значений 
. При 
и нечётном 
подынтегральное выражение 
подстановкой 
, содержащему линейный бином. В
случае чётного 
- интегрированием по частям:
Следует последовательно понизить
степень 
под знаком интеграла до нуля и
затем воспользоваться обобщением рекуррентного соотношения
При интегрировании функции вида 
проще всего
использовать её разложение на простейшие рациональные дроби.
В случае 
можно пойти таким путём.
Подынтегральное выражение преобразуем при 
к виду:
Далее интегрированием по частям:
Последовательно понизим до единицы
степень бинома в знаменателе подынтегральной функции, а затем также
интегрированием по частям по формулам:
придём к одному из следующих
неопределённых интегралов:
где
. Аналогичный приём можно
использовать и в случае других значений 
.
.1 Тригонометрические и
гиперболические подстановки
В данной главе мы рассмотрим
вычисление интегралов вида 
, где R - рациональная функция x и
квадратного корня
.
Предварительно преобразуем
квадратичную функцию под знаком корня, выделив в ней полный квадрат:
Выполнив замену 
, мы получим один из следующих 3
интегралов в зависимости от значений коэффициентов a, b и с:
Каждый из этих трех интегралов вычисляется
с помощью специальных тригонометрических или гиперболических подстановок.
Тригонометрическая подстановка:
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
Тригонометрическая подстановка:
Гиперболическая подстановка:
Примечания:
· Вместо тригонометрических подстановок в случаях 1, 2, 3 можно использовать, соответственно, подстановки x = r cos t, x = r ctg t, x = r cosec t.
· В приведенных выше
формулах рассматриваются только положительные значения квадратного корня.
Например, в строгой записи
Полагаем, что 
.
.2 Примеры
1. Вычислить
интеграл:
2.
Вычислить интеграл
Рассмотрим данный интеграл как интеграл от
дифференциального бинома.
Разложим правильную рациональную алгебраическую
дробь на сумму простейших дробей:
3. Вычислить
интеграл:
Рассмотрим данный интеграл как интеграл от
дифференциального бинома. 
Заключение
Данная тема является не только объёмной, но и достаточно сложной, особенно, достаточно сравнить процесс вычисления производных и процесс нахождения интегралов различных функций. Это связано с тем, что существует большое количество функций, отыскать первообразную для которых не всегда легко.
В курсовой работе показано, как необходимо действовать, если перед нами ставится задача найти интеграл от функции f(x), которая является рациональной, специальными методами. Основным специальным методом является метод Острограцкого, который позволяет избежать трудоёмкого интегрирования дробей четвёртого типа.
В ходе работы были выделены основные виды
рациональностей, а также определены подстановки, которые позволяют
рационализировать те или иные функции.
Список литературы
1. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа, - М.: Наука, 1982. стр. 227, 228.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления ч. 1,2,3, - М.: «Наука», 1969.
3. В.С. Зарубин, Е.Е. Иванова. Интегральное исчисление функций одного переменного, - М: МГТУ им. Н.Э. Баумена, 1999, стр. 81 - 98.
. Зорич В.А. Математический анализ ч. 1, - Москва: ФАЗИС, 1997, стр. 330.