БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика
Стационарное распределение вероятностей состояний сетей массового обслуживания с групповыми перемещениями
Коробейникова Евгения Васильевна
Минск, 2013
Работа выполнена в учреждении образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины».
Научный руководитель - Малинковский Юрий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой экономической кибернетики и теории вероятностей УО «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины».
Официальные оппоненты: Егоров Александр Дмитриевич, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник отдела нелинейного и стохастического анализа ГНУ «Институт математики НАН Беларуси»;
Кравченко Светлана Витальевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационно - вычислительных систем УО «Белорусский торгово- экономический университет потребительской кооперации».
Оппонирующая организация - Учреждение образования «Белорусский государственный университет транспорта».
ВВЕДЕНИЕ
Теория массового обслуживания находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности, таких как хранение и передача информации, телефонной и телеграфной связи, медицине, промышленности. Результаты, полученные в рамках теории массового обслуживания, находят также применение при имитационном моделировании.
Работа любой системы массового обслуживания состоит в обработке поступающего на нее потока требований или заявок. Заявка обслуживается некоторое время, а затем на ее место поступает следующая заявка. Система может иметь несколько каналов, что позволяет успешно справляться с потоком заявок. Предметом теории массового обслуживания является прогнозирование поведения систем и сетей массового обслуживания и установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, производительностью каналов и эффективностью обслуживания. В качестве характеристик эффективности могут выступать различные величины: среднее число обслуженных заявок, среднее время ожидания в очереди, среднее время простоя и др.
Важным разделом теории массового обслуживания является теория сетей массового обслуживания. Сеть массового обслуживания представляет собой совокупность систем массового обслуживания, между которыми происходит обмен заявками по заданному правилу. В работе Дж. Р.Джексона было введено понятие открытой сети, в которой заявки могут поступать в сеть, а также и покидать ее. В работе В.Гордона и Г.Ньюэлла была рассмотрена замкнутая сеть, в которой число заявок постоянно. В таких сетях нет поступления заявок в сеть и ухода из нее. В дальнейшем в работах Мура было показано, что с помощью сетей массового обслуживания можно адекватно описывать функционирование информационно-вычислительных сетей. С этого момента теория сетей начала бурно развиваться. Появилось множество модификаций сетей Джексона и Гордона-Ньюэлла, которые позволили решать задачи, связанные с обработкой и передачей информации в вычислительных системах. Большой вклад в развитие сетей массового обслуживания внесли Г.П.Баширин, А.В.Боровков, Э.Геленбе, Дж.Джексон, В.А.Ивницкий, Ф.П.Келли, Д.Кениг, Л.Кленрок, Ю.В.Малинковский, М.А. Маталыцкий, Г.А.Медведев, Б.Меламед, Р.Мюнтц, М.Миязава, С.Е.М.Перс, П.К.Поллетт, А.Н.Рыбко, Р.Серфозо, Ю.М.Сухов, П.Тейлор, А.Л.Толмачев, Д.Тоусли, П.Уитл, ДЖ.Уолренд, Г.И.Фалин, Ф.Хендерсон, Ч.Чао и другие. Для сетей массового обслуживания, ввиду их сложности, аналитические выражения для вероятностей состояний в настоящий момент можно найти только в форме произведения множителей стационарных вероятностей отдельных систем сети. В связи с этим актуальным является нахождение условий мультипликативности для данной сети.
Большой интерес представляют сети, в которых заявки поступают группами и обслуживаются также группами. При описании таких сетей возникают существенные математические трудности, не позволяющие находить стационарное распределение вероятностей. Поэтому стационарное распределение вероятностей ищут в заданном виде, например, в виде произведения геометрических распределений. При этом для существования такого распределения требуется введение дополнительного потока групп заявок, который поступает в систему, когда в нем нет заявок. Сети с групповыми перемещениями заявок рассматривались в работах Х.Чао, М. Пинедо, Д. Шоу, Е. Геленбе, У. Хендерсона, Ю.В. Малинковского, А.Н. Дудина, П.Г. Тейлора, М. Миязава, А. Экономоу и др. Однако наличие дополнительного потока заявок является несколько искусственным, поэтому актуальной является задача нахождения стационарного распределения вероятностей без дополнительного потока. Настоящая диссертация посвящена проблеме нахождения необходимых и достаточных условий, при которых стационарное распределение вероятностей сетей массового обслуживания с групповыми перемещениями имеет форму произведения смещенных геометрических распределений.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Связь работы с крупными научными программами, темами
Диссертационная работа связана с научными программами учреждения образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» и является частью следующих тем:
- государственной программы фундаментальных исследований
«Исследование основных математических структур и проблем математического моделирования» (задание «Методы исследования сетей массового обслуживания») -2004/2005г., ГБЦМ 01-53F, № госрегистрации 20011312;
- государственной программы фундаментальных исследований «Математические модели» (задание «Математические модели стахостических сетей») с 2006/2011г. ГЦБМ 06-033, № госрегистрации 20061474.
- государственной программы фундаментальных исследований «Математические модели» (задание «Стационарное распределение стохастических сетей») с 2012г. по настоящее время. ГПНИ 11-41, № госрегистрации 20111163.
Цель и задачи исследования
Целью работы является нахождение необходимых и достаточных условий существования стационарного распределения сетей массового обслуживания с групповыми перемещениями заявок в форме произведения смещенных геометрических распределений. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
1. Для открытой экспоненциальной сети массового обслуживания с групповым поступлением заявок и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием устанавливаются достаточные условия существования стационарного распределения в форме произведения смещенных геометрических распределений.
2. Для открытых экспоненциальных сетей массового обслуживания с передачей сообщений о формировании поступающих групп, и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием устанавливаются необходимые и достаточные условия существования стационарного распределения в форме произведения смещенных геометрических распределений.
3. Анализируется робастность сети массового обслуживания с передачей сообщений о формировании поступающих групп, и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием, при отклонении значений исходных параметров, изменение которых влечет за собой нарушение условий квазиобратимости.
Объектом исследования являются марковские процессы изменения состояний открытых сетей с групповыми перемещениями заявок.
Предметом исследования является стационарное распределение вероятностей открытых сетей с групповыми перемещениями заявок. В работе использовались методы математического анализа, теории вероятностей, теории марковских процессов, теории сетей массового обслуживания. Исследования основывались на методе обращения времени марковского процесса и методе локального баланса.
Положения, выносимые на защиту
1. Стационарное распределение открытых экспоненциальных сетей массового обслуживания с групповым поступлением и асамблейно-трансферным групповым обслуживанием имеет форму произведения смещенных геометрических распределений, если размеры поступающих групп и выбираемых для обслуживания групп имеют геометрическое распределение.
2. Стационарное распределение открытых экспоненциальных сетей массового обслуживания с передачей сообщений о формировании поступающих групп, и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием имеет форму произведения смещенных геометрических распределений, если размеры формируемых в системах групп имеют геометрическое распределение.
Личный вклад соискателя
Все результаты, приведенные в диссертации, получены автором самостоятельно. В совместных работах постановка задачи и обсуждение результатов, принадлежат научному руководителю, вклад соискателя определяется рамками представленных в диссертации результатов.
Апробация результатов диссертации
Основные результаты диссертации докладывались на VI Республиканской научной конференции молодых ученых и студентов «Современные проблемы математики и вычислительной техники» (Брест, 2009г.), I международной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (Минск, 2007г.), V Республиканской научной конференции молодых ученых и студентов «Современные проблемы математики и вычислительной техники» » (Брест, 2007г.), IX Республиканской научной конференции студентов и аспирантов «Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях»(Гомель, 2006г.), XIV Республиканской научной конференции студентов и аспирантов «Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях» (Гомель, 2011г.), XV Республиканской научной конференции студентов и аспирантов «Новые математические методы и компьютерные технологии в проектировании, производстве и научных исследованиях» (Гомель, 2012г.), международной конференции «Теория вероятностей, математическая статистика и их приложения», посвященная 75- летию профессора, доктора физико-математических наук Г.А.Медведева (Минск, 2010г.), VIII международной научно-практической конференции молодых исследователей «Содружество наук» (Барановичи, 2012).
Опубликованность результатов
Результаты диссертационного исследования опубликованы в 12 научных работах, из них 4 статьи в научных журналах, соответствующих п.18 Положения о присуждении ученых степеней и присвоении ученых званий в Республике Беларусь (общим объемом 2 авторских листа), 3 статьи в сборниках материалов научных конференций, 5 тезисов.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из перечня условных обозначений, введения, общей характеристики работы, четырех глав, библиографического списка, приложения. Основные результаты разбиты на главы следующим образом: в главе 2 исследуется модель с групповым поступлением и групповым ассамблейно -трансферным обслуживанием; в главе 3 исследуется модель с передачей сообщений о формировании поступающих групп заявок и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием; в главе 4 исследуется робасность стационарного распределения вероятностей состояний в форме произведения для модели описанной в главе 3. Полный объем диссертации составляет 97 страниц. Диссертация содержит 15 рисунков на 7 страницах, 1 приложение на 14 страницах. Библиографический список содержит 116 наименований, включая собственные публикации автора.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ
В первой главе диссертации приведен краткий обзор литературы по теории сетей массового обслуживания. Сформулирована актуальная задача установления необходимых и достаточных условий существования стационарного распределения в форме произведения смещенных геометрических распределений для сетей массового обслуживания с групповыми перемещениями.
Во второй главе сначала рассматривается однолинейная система массового обслуживания с групповым поступлением и ассамблейно-трансферным групповым обслуживанием. В систему поступает стационарный пуассоновский поток групп заявок интенсивности . На обслуживание поступает группа заявок, которая обслуживается целиком, при этом обслуживание - экспоненциальное с интенсивностью . Процессы поступления и обслуживания независимы. Пусть - размер i-й поступающей группы, - размер i-ой группы, требующей обслуживания. Предполагается, что - взаимно независимые неотрицательные целочисленные случайные величины с произвольными функциями распределения ,, функциями вероятностных масс , производящими функциями и конечными математическими ожиданиями и соответственно. Если сразу после окончания обслуживания группы в системе остается заявок, а размер разыгрываемой для обслуживания группы , то прибор начинает обслуживать группу из заявок. Если же , то прибор захватывает на обслуживание неполную группу из заявок. В этой модели и во всей диссертационной работе рассматривается так называемое ассамблейно-трансферное обслуживание, при котором размер выбираемой на обслуживание группы определяется не в момент начала, а в момент окончания обслуживания группы. Это гарантирует, что процесс, описывающий состояние рассматриваемых систем и сетей массового обслуживания, будет марковским.