Пусть - число заявок в системе в момент времени t. Семейство случайных величин является цепью Маркова. Интенсивности ее переходов равны
Введем обозначение . Уравнения равновесия для стационарных вероятностей процесса имеют вид
(1)
, (2)
Доказано что решение (1-2) существует в виде смещенного геометрического распределения , где
(3)
где с - корень уравнения
. (4)
Лемма 2.1 [3, с.100] Если , то уравнение (4) имеет единственный корень . Этот корень находится в промежутке .
По лемме 2.1, если решение уравнений равновесия (1), (2) в форме (3) существует, то должно выполняться .
Производящая функция размеров поступающих групп равна
(5)
Раскладывая (5) в степенной ряд увидим, что распределено по геометрическому закону
, где . (6)
Необходимым и достаточным условием эргодичности цепи Маркова является
. (7)
Теорема 2.1 [3, с.102] Пусть выполнено (7). Для того чтобы стационарное распределение имело форму смещенного геометрического распределения (3) необходимо и достаточно, чтобы и существовала абсолютно монотонная функция , удовлетворяющая и равенству (5). Тогда будет задавать производящую функцию размеров поступающих групп.
Для квазиобратимости цепи Маркова необходимо и достаточно выполнения условий
сеть массовое обслуживание
(8)
(9)
(10)
Откуда следует что , а параметр геометрического распределения размеров поступающих групп равен
.
Пусть размеры групп, выбираемых на обслуживание, имеют геометрическое распределение с параметром , т.е.,
.
Теорема 2.2 [3, с.103] Если размеры групп потока, поступающего в систему, с параметром и размеры групп потока, поступающего на обслуживание, с параметром имеют геометрическое распределение и выполняется условие , то размеры групп потока, выходящего из системы, распределены по тому же закону, что и входящего и оба потока имеют одинаковую интенсивность.
Данная теорема 2.2 говорит о том, что уходящий поток распределен по тому же закону, и с той же интенсивностью, что и поступающий.
Теорема 2.3[3, c.103 ] Пусть выполнено условие эргодичности (7). Для того, чтобы цепь Маркова была квазиобратимой, а ее стационарное распределение имело форму смещенного геометрического распределения (3), необходимо и достаточно чтобы выполнялись соотношения , размеры поступающих групп имели геометрическое распределение с параметром , а размеры обслуживаемых групп имели геометрическое распределение с параметром
, ,
где - корень уравнения .
В пункте 2.2 рассматривается открытая сеть массового обслуживания с конечным множеством систем . В системы сети поступают независимые стационарные пуассоновские потоки групп заявок с параметром для -ой системы. Длительности обслуживания групп в системах сети независимы и имеют показательное распределение с параметром для -ой системы. Размеры поступающих и требуемых для обслуживания групп - независимые положительные целочисленные случайные величины. Размеры поступающих в -ую систему групп имеют геометрическое распределение с параметром , размеры требуемых для обслуживания в -ой системе групп имеют геометрическое распределение с параметром . Если сразу после окончания обслуживания группы в -ой системе остается заявок, а размер разыгрываемой для обслуживания группы , то прибор начинает обслуживать группу из заявок. Если же , то прибор захватывает на обслуживание неполную группу из заявок. Предположим также, что размеры поступающих и требуемых для обслуживания групп в -ой системе имеют конечные математические ожидания и соответственно. Группа заявок, обслуженная в i-ой системе, мгновенно с вероятностью направляется в j-ую систему, а с вероятностью покидает сеть (
).
Интенсивности перехода равны
, ,
- -мерный вектор, i-я координата которого равна 1, а остальные 0.
Необходимым и достаточным условием эргодичности является
,
где - положительное решение уравнения трафика
. (11)
Существование и единственность положительного решения (11) гарантированы, если расширенная матрица маршрутизации неприводима.
Обозначим , и пусть - корни уравнений , . Теорема 2.4. [3, c.104] Пусть выполнены условия . Если а размеры поступающих групп имеют геометрическое распределение с параметром , где - корень уравнения и размеры групп обслуживаемых заявок имеют геометрическое распределение с параметрами , , то стационарное распределение имеет форму произведения смещенных геометрических распределений
,
где . В равновесии выходящие из сети потоки являются стационарными независимыми пуассоновскими потоками, а рассматриваемая сеть сама квазиобратима, т.е. ее текущее состояние не зависит от прошлых уходов заявок из сети.
Построен алгоритм проверки существования и вычисления стационарного распределения процесса в форме произведения смещенных геометрических распределений при отсутствии терминальных систем и в пункте 2.3 найдены условия существования стационарного распределения для изолированной системы в форме произведения двойных смещенных геометрических распределений.
В третьей главе рассмотрена однолинейная система массового обслуживания с групповым поступлением и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием. В систему поступает стационарный пуассоновский поток сообщений с интенсивностью . В момент поступления сообщения мгновенно формируется группа заявок случайного размера (-
номер -го по счету поступившего сообщения). Эта группа заявок присоединяется к очереди, если в системе есть другие заявки, в противном случае из заявок этой группы формируется группа заявок, которая сразу начинает обслуживаться. Механизм формирования требуемой для обслуживания группы точно такой, как описанный ниже механизм формирования группы на обслуживание после окончания обслуживания очередной группы. Предполагается, что - последовательность независимых неотрицательных одинаково распределенных целочисленных случайных величин с конечным математическим ожиданием и вероятностными значениями Пусть - производящая функция . В момент окончания обслуживания очередной группы производится решение о размере этой группы, которая является случайной величиной . Эта группа обслуживается целиком, при этом обслуживание - экспоненциальное с интенсивностью (- номер -ой по счету обслуженной группы). Если в момент окончания обслуживания очередной группы размер требовавшейся для обслуживания группы строго больше числа оставшихся заявок в системе, то на обслуживание выбирается некомплектная группа из всех оставшихся в системе заявок. Предполагается, что - последовательность независимых неотрицательных одинаково распределенных целочисленных случайных величин с конечным математическим ожиданием и вероятностями значений Пусть также - производящая функция . Процессы поступления и обслуживания предполагаются независимыми. Размеры поступающих групп и размеры выбираемых на обслуживание групп также независимы.
Теорема 3.1 [2, с.212, 4, с.48] Пусть выполнено условие эргодичности (7). Для того что бы цепь Маркова была квазиобратимой, а ее стационарное распределение имело форму смещенного геометрического распределения (3) необходимо и достаточно, чтобы , , а размеры формируемых при поступлении сообщений групп имели геометрическое распределение с параметром
,
где - корень уравнения .
В пункте 3.2 рассмотрена открытая сеть массового обслуживания, склеенная из систем того же типа, как система, рассмотренная в разделе 3.1. Обслуженная в -ой системе группа заявок мгновенно покидает сеть, посылая сообщение в -ую систему с вероятностью , а с вероятностью не посылая никаких сообщений (). Система линейных уравнений трафика имеет вид
(12)
и имеет единственное строго положительное решение. Эта система выражает сохранение интенсивности потоков сообщений при прохождении систем сети. Условие эргодичности для сети имеет вид
(13)
Так как рассматриваемая сеть получается с помощью стандартной операции склеивания систем, описанных в разделе 1, то, по теореме Келли, если системы в сети будут квазиобратимыми, то стационарное распределение будет иметь форму
, (14)
где - стационарное распределение изолированной системы, на которую направляется стандартный пуассоновский поток сообщений интенсивности , где - строго положительное решение линейных уравнений трафика (13).
Лемма 3.3 [4, с.50] Если нетерменальные системы в сети квазиобратимы, то стационарное распределение будет иметь форму (14).
Также доказано, что если стационарное произведение имеет форму (14), где i-й множитель в произведении зависит только от состояния -ой системы, то нетерминальные системы в сети квазиобратимы.
Лема 3.4 [4, с.53] Если стационарное распределение процесса представляется в форме (14), где каждый множитель зависит только от состояния -ой системы , то каждый множитель удовлетворяет уравнению равновесия для изолированного -ой системы, на который поступает пуассоновский поток параметром .
Лема 3.5 [4, с.54] Если стационарное распределение процесса представляется в форме (14), где каждый множитель зависит только от состояния -ой системы , то нетерминальные системы сети квазиобратимы, а в терминальных системах каждый множитель удовлетвыоряет уравнению равновесия для изолированной -ой системы, на который поступает пуассоновский поток с параметром
Объединяя лемы (3.3) и (3.5) получим следующий основной результат.
Теорема 3.2 [4, с.54] При выполнении условия (13) процесс эргодичен. Для этого чтобы его стационарное распределение представлялось в форме произведения (14), в котором каждый множитель зависит только от состояния -ой системы (), необходимо и достаточно, чтобы нетерминальные системы в сети были квазиобратимыми. При этом выходящие из сети из квазиобратимых систем потоки групп заявок являются независимыми и пуассоновскими, а в терминальных системах каждый множитель удовлетворяет уравнению равновесия для изолированной -й системы, на которую поступает пуассоновский поток с параметром
Построен алгоритм проверки существования и вычисления стационарного распределения процесса в форме произведения смещенных геометрических распределений при отсутствии терминальных систем.
В главе четыре ставится задача проанализировать робастность решения системы массового обслуживания, при отклонении значений исходных параметров, изменение которых влечет за собой нарушение условий квазиобратимости, для модели с групповыми перемещениями, описанной в главе 3. Для решения данной задачи был разработан алгоритм и создан программный комплекс, написанный на языке программирования Delphi, который позволяет оценить влияние изменения исходных параметров на точность решения для сети, состоящей из двух систем. С использованием программного комплекса проведен численный эксперимент, который позволяет оценить влияние параметров геометрического распределения размеров поступающих в системы групп на отклонение решения глобальных уравнений равновесия в форме произведения от решения полученного по аналитическим формулам.
Разработанный алгоритм проверки робастности решения глобальных уравнений равновесия в форме произведения к отклонению от исходных параметров можно применять для любой сети массового обслуживания, для которой существует решение в мультипликативной форме. Следует отметить, что даже при незначительных изменениях в исходных параметрах, влияющих на точность выполнения условий квазиобратимости, значения вероятностей могут сильно отличаться от полученных аналитическим путем по формуле произведения вероятностей. Поэтому проверка робастности решения глобальных уравнений равновесия в форме произведения, позволяет нам определить диапазон изменения исходных параметров, при котором решение остается устойчивым.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные научные результаты диссертации
Получены следующие новые результаты:
1. Для открытой экспоненциальной сети массового обслуживания с групповым поступлением заявок и ассамблейно-трансферным групповым обслуживанием найдены достаточные условия существования стационарного распределения вероятностей в форме произведения смещенных геометрических распределений, если размеры поступающих групп и групп поступающих на обслуживание имеют геометрическое распределение. Эти результаты опубликованы в [3, 12].
2. Для открытых экспоненциальных сетей массового обслуживания с
передачей сообщений о формировании поступающих групп, и групповым ассамблейно-трансферным обслуживанием установлены необходимые и достаточные условия существования стационарного распределения в форме произведения смещенных геометрических распределений. Эти результаты опубликованы в [2,4,8].