Материал: Сумин Интегралные уравнения Фредголма и Волтерра 2016

c = π∫/2

(4c sin2 t + 2t − π) dt ,

0

или

π/2

π/2

c 1

− 4 ∫

sin2 t dt =

∫

(2t − π) dt .

0

0

Отсюда

c(1− π) = −

π2

,

4

т.е. c =

π2

. Решение исходного интегрального уравнения име-

4(π−1)

y(x) =

π2

sin2 x + 2x − π.

π−1

Пример 4.3. Решить интегральное уравнение

y(x) = −

π ∫1

(cos πx −sin πt) y(t) dt + 2x −1 .

2 0

Решение. Ядро

K (x, t) = cos πx −sin πt

данного

интегрального

уравнения является вырожденным, параметр λ = −

π

. Обозначим

2

p1 (x) =cos πx ,

q1 (t) =1,

p2 (x) = −1, q2 (t) =sin πt

и запишем:

a11 = ∫1

p1 (t) q1 (t) dt = ∫1

cos πt dt = 0 ,

0

0

a12 = ∫1

p2 (t) q1 (t) dt = −∫1

dt = −1 ,

0

0

a21 = ∫1

p1 (t) q2 (t) dt = ∫1

cos πt sin πt dt = 0 ,

0

0

a22 = ∫1

p2

(t) q2 (t) dt = −∫1

sin πt dt = −

2

,

π

0

0

b1 = ∫1

q1 (t) f (t) dt = ∫1

(2t −1) dt = 0 ,

0

0

c +

π (0 c −c ) = 0,

1

2

1

2

π

2

c +

0

c

−

c

=0,

2

1

π

2

2

−

π

c2

= 0,

c1

2

0 c

+ 0

c

= 0.

1

2

Так как главный определитель

=

1 −

π

= 0

2

0

0

и вспомогательные определители

c

= c

= 0 , то система уравне-

1

2

π

2

π

y(x) = −

C cos πx −

C

+ 2x −1 = −

C cos πx +C + 2x −1.

2

π

2

Пример 4.4. Решить интегральное уравнение

y(x) = ∫1

ext y(t) dt + e−x .

0

c = ∫1

t(cet + e−t ) dt ,

или

0

1

1

c 1

− ∫

tet dt

= ∫te−t dt .

0

0

λ =1,

K (x, t) = ext . Тогда

1 1

1 1

B2 = ∫∫

K (x, t)

2 dx dt = ∫∫ e2 xt2 dx dt =

0 0

0 0

= ∫1

e2 x dx ∫1

t2 dt =

1

(e2 −1) ,

B =

e2 −1 ,

0

0

6

6

1

=

6

≈ 0,8 .

e2

−1

B

Здесь

λ

=1 >

1

≈ 0,8 .

B

В

качестве нулевого

приближения

возьмем свободный член

f (x)

данного уравнения, т.е.

y (x) = f (x) = e−x . Строим последова-

0

тельность функций {yn (x)} по формуле (2.2):

y1 (x) = f (x) + ∫1

K (x, t) y0 (t) dt = e−x + ∫1

exte−t dt =

0

0

1

x

1

e

−x

+ e

x

∫ te

−t

dt

= e

−x

+ e

1 −

,

0

2e

y2 (x) = f (x) + ∫1

K (x, t) y1 (t) dt =

0

1

1

−x

+ ∫ e

x

−t

t

= e

t

e

+ e

1

−

dt =

0

2e

−x

x

1

−t

1

1

t

= e

+e

∫ te

dt

+ 1−

∫ te

dt

=

2e

0

0

= e

−x

+ 2e

x

−

1

,

1

2e

y3 (x) = f (x) + ∫1

K (x, t) y2 (t) dt =

0

1

1

−x

∫

x

−t

t

= e

+

e

t

e

+ 2e

1 −

dt =

0

2e

= e

−x

+3e

x

−

1

1

,

2e

…,

yn (x) = f (x) + ∫1

K (x, t) yn−1 (t) dt =

0

= e

−x

+ ne

x

−

1

1

.

2e

Так как lim n =∞ ,

то

указанная

последовательность функций

n→∞