Курсовая работа (т): Теорема Чеви та її застосування

Теорема Чеви та її застосування

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича

Факультет прикладної математики

Кафедра алгебри та інформатики

Курсова робота

з математики

на тему:

«Теорема Чеви та її застосування»

студентки 3 курсу 306 групи

напряму підготовки «Математика»

Стус Ірина Ігорівна

Керівник:

асистент кафедри алгебри та інформатики Довгей Ж.І.

Чернівці - 2013

АНОТАЦІЯ

У даній курсовій роботі розглядається теорема Чеви, наслідки з неї та пов’язані з нею інші теореми, які суттєво спрощують розв’язання деяких задач з планіметрії. Також на прикладах проілюстровано застосування теореми Чеви та деяких похідних теорем.

ЗМІСТ

ВСТУП

§1. Поняття чевіани. Теорема Чеви

.1      Основні поняття. Узагальнена теорема синусів

.2      Знаки відрізків. Відношення трьох точок

.3      Теореми Чеви

.4      Наслідки з теореми Чеви

.5      Теорема Чеви: випадок зовнішньої точки

§2. Теорема Карно

§3. Деякі чудові перетворення, пов'язані з теоремою Чеви

§4. Зовнівписані кола

.1 Вираження площі трикутника через радіуси вписаного круга і півпериметр

.2 Залежність між радіусом вписаного кола і радіусами зовнівписаних кіл

.3 Означення довжини відрізка від вершини трикутника до точок дотику зовнівписаного кола

§5 Центр мас периметра трикутника

§6. Теорема Ван-Обеля та наслідки з неї

§7. Приклади застосування теореми Чеви

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Теорема Чеви вказує на деякі співвідношення між сторонами трикутника. Чева винайшов загальний метод, що дозволяє визначати, чи перетинається відповідна трійка прямих в одній точці, чи ні. Дана теорема була доведена у кінці XVII ст., але є актуальною і на сьогоднішній день.

Джованні Чева народився в 1647 році в Італії. Він закінчив єзуїтський коледж в Мілані, після чого став студентом Університету в місті Піза, де пізніше і став працювати професором математики. З 1686 року Чева працював в Університеті в Мантуї, залишаючись на цій посаді до самого кінця свого життя. До речі, брат Джованні, Томасо Чева, також був досить талановитим та відомим математиком, а також поетом.

Більшу частину життя Чева вивчав геометрію, намагаючись відродити грецьку геометрію; крім того, сьогодні його пам'ятають і за дослідженнями в області механіки.

У 1678-му Чева опублікував свою теорему «Про прямі, що взаємно перетинаються», яка стала знаменитою; теорема ця згодом отримала його ім'я - теорема Чеви. Вона сьогодні є класичною теоремою геометрії трикутника. Говорячи простою мовою, Чева винайшов якийсь загальний метод, що дозволяє за положенням точок на сторонах трикутника визначати, чи перетинається відповідна трійка прямих в одній точці чи ні. Вона афінна, тобто теорему цю можна сформулювати використовуючи тільки характеристики, що зберігаються при афінних перетвореннях. До речі, відрізок, що з'єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні, називається чевіаною - також на ім'я Джованні Чеви. Можна сказати, що ця теорема служить фундаментом всієї геометрії трикутника.

Відомо, що опублікував вчений не тільки свої теореми, але і допрацював і популяризував теореми Менелая. У роботі «Геометрія руху» він розглянув природу руху.

Відомо, що Джованні був і інженером-гідравліки, а також економістом, і кілька разів йому довелось попрацювати на уряд Мантуї, був він урядовим комісаром Мантуанського герцогства. У 1728 році він опублікував «Opus hydrostaticum», в якому обговорював проблеми в гідравліці.

Джованні Чева помер 15 червня 1734 року, у віці 85 років; смерть його настала під час облоги Мантуї франко-сардінської армією.

Розглянемо проблему, яку поставив перед собою математик. Більшість чудових точок трикутника можуть бути отримані за допомогою наступної процедури. Нехай у нас є деяке правило, згідно з яким ми можемо вибрати певну точку  на стороні  (або її продовженні) трикутника  (наприклад, виберемо середину цієї сторони). Потім побудуємо аналогічні точки ,  на двох інших сторонах трикутника (у нашому прикладі - ще дві середини сторін). Якщо правило вибору вдале, то прямі , ,  перетнуться в деякій точці  (вибір середин сторін у цьому сенсі, звичайно, вдалий). Наприклад, всі чудові точки виходять саме так.

Тому хотілося б мати який-небудь загальний метод, що дозволяє за положенням точок на сторонах трикутника визначати, чи перетинається відповідна трійка прямих в одній точці, чи ні.

Універсальну умову, що «закрила» цю проблему, знайшов в 1678 р. італійський інженер Джованні Чева. Можна сказати, що ця теорема служить фундаментом всієї геометрії трикутника.

§1. Поняття чевіани. Теорема Чеви

.1 Основні поняття. Узагальнена теорема синусів

Означення 1.1. Відрізок, що з’єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні називається чевіаною [1].

Зауваження. В [2] означення чевіани дається наступним чином:

Означення 1.1΄. Прямі, що виходять з вершин трикутника і перетинають протилежну його сторону в деякій точці, називаються прямими Чеви або чевіанами.

Цей термін походить від імені італійського математика Джованні Чеви, який в 1678 році опублікував дуже важливу теорему.

Означення 1.2. Якщо три чевіани  (по одній з кожної вершини) трикутника  проходять через одну точку, то вони називаються конкурентними.

Теорема синусів - це тригонометрична теорема, якою ми часто користуємося. В підручниках вона, зазвичай, подається у неповній формі, та втрачається деяка інформація, яку несе узагальнена теорема, тому ми дозволимо собі довести теорему синусів у потрібній нам формі.

Теорема 1 (узагальнена теорема синусів). Для трикутника  з радіусом описаного кола  виконуються співвідношення

.

Доведення. Розглянемо трикутник (позначений довільним способом) і опишемо навколо нього коло з центром в точці  і радіусом , як показано на малюнках 1 і 2. Проведемо діаметр  і хорду  В обох випадках  - прямий, оскільки він вписаний в півколо. Звідси випливає, що на обох малюнках . На малюнку 1 , оскільки ці кути опираються на спільну дугу кола.

На малюнку 2 , оскільки протилежні кути вписаного чотирикутника є доповняльними. Згадуючи, що , отримаємо, що в обох випадках , а отже , тобто .

Якщо цю ж саму операцію ми застосуємо до інших кутів трикутника  то отримаємо

, . ▲

Отже, теорему доведено.▲

1.2 Знаки відрізків. Відношення трьох точок

Відрізки, що лежать на одній прямій, порівнюються не лише за величиною, але й за напрямком. Для можливості такого порівняння виберемо на прямій певний напрямок, який будемо вважати додатнім. Протилежний напрям назвемо від’ємним. За такою умовою кожному відрізку буде відповідати число, що дорівнює довжині цього відрізка і має знак плюс при додатному напрямку відрізка і знак мінус, при від’ємному напрямку.

Наприклад, якщо відрізку  буде відповідати додатне число, то відрізку  - від’ємне.

Називаючи відрізок двома буквами, ми першою буквою позначаємо початкову точку, а другою - кінцеву точку відрізка. При введеній нами умові відрізки і  є однаковими за величиною і протилежні за знаком:  або .

Теорема 2. При довільному розміщенні трьох точок  на напрямленій прямій, справедливе наступне співвідношення: .

Доведення. Нехай жодна з пар точок  не співпадає, тобто жоден відрізок не дорівнює нулю.

Існує шість можливих розміщень трьох точок на прямій, два з яких вказані на малюнку 3.

-й випадок: з малюнка 3а бачимо, що

.

-й випадок: з малюнка 3б бачимо, що

Аналогічно доводиться теорема в решті випадків.

Теорема залишається справедливою, якщо один з відрізків перетворюється в нуль, наприклад, замість маємо . ▲

1.3 Теорема Чеви

Теорема 3 (Менелая) [4]. Нехай дано трикутник  і точки   і  - такі, що лежать на сторонах - відповідно (мал. 4б). Точки   і  лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли виконується рівність

Теорема 4 (Чеви - пряма) [1]. Нехай дано трикутник  і точки   і  - такі, що лежать на сторонах - відповідно (мал. 4а). Якщо в трикутнику  відрізки (або прямі)  є конкурентними, тоді виконується співвідношення:

Доведення. Для доведення теореми Чеви згадаємо, що площі трикутників з рівними висотами пропорційні основам трикутників. Посилаючись на малюнок 4а, ми маємо:

Аналогічно,

Тепер, якщо ми їх перемножимо, то отримаємо

Теорему доведено. ▲

Теорема, обернена до даної також вірна:

Теорема 5. (Чеви - обернена) Нехай дано трикутник  і точки   і  - такі, що лежать на сторонах  - відповідно (мал. 4а). Якщо три чевіани  задовольняють співвідношення

,

то вони конкурентні.

Доведення. Припустимо, що дві перші чевіани перетинаються у точці , як і раніше, а третя, що проходить через точку , буде . Тоді, за теоремою 4, . Але за припущенням . Звідси випливає, що , точка співпадає з точкою і ми довели, що відрізки є конкурентними. ▲

Теорема 6. [1] Теорема Чеви може бути записана так:

або

,

або

,

або

Теорема Чеви залишається вірною і у випадку, якщо точка перетину прямих, що виходять з вершин трикутника, знаходиться поза трикутником.