Курсовая работа (т): Теорема Чеви та її застосування

Точкою Лемуана  називають точку, ізогонально спряжену до точки перетину медіан трикутника. Вона володіє багатьма цікавими властивостями.

§4. Зовнівписані кола

Бісектриси зовнішніх кутів при двох вешинах трикутника перетинаються на бісектрисі внутрішнього кута при третій його вершині. Точка перетину двох бісектрис зовнішніх кутів і бісекриси внутрішнього кута при третій вершині трикутника є центром кола, що дотикається до одніє сторони трикутника і продовжень до двох інших сторін (мал. 14).

Таке коло називається зовнівписаним колом.

Щоб обчислити радіус зовнівписаного кола, розглянемо площі трикутників     Позначимо радіус зовнівписаного кола, що дотикається до сторони  символом .

Тоді

де  - півпериметр трикутника  Отже

Аналогічно:

4.1 Вираження площі трикутника через радіуси вписаного круга і півпериметр

Вираження площі трикутника через радіуси зовнівписаних і вписаного кругів:

перемножимо ці рівності і отримаємо:

4.2 Залежність між радіусом вписаного кола і радіусами зовнівписаних кіл

звідси маємо:

з цих рівностей отримуємо:

4.3 Означення довжини відрізка від вершини трикутника до точок дотику зовнівписаного кола (мал. 14)

Оскільки  то

Відрізок від вершини трикутника до точок дотику зовнівписаного кола дорівнює півпериметру.

§.5 Центр мас периметра трикутника

Теорема 9. Центр мас периметра трикутника розміщений в центрі круга, вписаного в трикутник, вершини якого співпадають з серединами сторін даного трикутника.

Доведення. Центр мас сторони трикутника співпадає з її серединою. Розмістивши, на середині кожної сторони масу, пропорційну довжині сторони, ми зведемо дану задачу до побудови центра мас системи трьох матеріальних точок з масами    зосередженими відповідно у вершинах    (мал. 16) трикутника

Центр мас системи двох точок -  з масою  і точки  з масою  - точка  що розміщена на відрізку  так, що

З отриманих рівностей випливає, що  - бісектриса внутрішнього кута при вершині  трикутника

§6. Теорема Ван-Обеля та наслідки з неї

Теорема 10. Для кожної з прямих Чеви, що перетинаються всередині в трикутнику, вірним є наступне співвідношення (мал.17):

Доведення. З вершини  проведемо пряму  паралельну до

З подібності трикутників  та  маємо:

З подібності трикутників  та

Із подібності трикутників  та :

А звідси маємо:

що і доводить теорему. ▲

Цікаві частинні випадки цієї теореми:

а) якщо    - медіани, тоді маємо:

Тобто, медіана ділиться точкою перетину медіан у відношенні 2:1, рахуючи від вершини трикутника.

б)    - бісектриси внутрішніх кутів.  - центр вписаного круга:

в)  - точка Жергона:

г)  - точка Негеля:

Покажемо, що теорема Ван-Обеля може бути поширена на прямі Чеви, що перетинаються поза трикутником, якщо відрізки, що розглядаються в теоремі, вважати напрямленими.

Нехай в трикутнику  проведено прямі    що перетинаються в точці  яка лежить за межами трикутника (мал.18).

З подібності трикутників і  маємо:

з подібності трикутників  і  та подібності трикутників  і  маємо:

 та

А отже:

Варто відмітити, що для напрямлених відрізків всі три дроби - від’ємні.

Визначимо  Проведемо з вершини  пряму  З подібності трикутників  та  маємо:

Якщо звернути увагу на те, що для напрямлених відрізків  - від’ємне, то

Якщо вважати в теоремі Ван-Обеля відрізки напрямленими, то теорема дійсна і для прямих Чеви, які перетинаються у внутрішній точці трикутника.

Назвемо відношення трьох точок, що лежать на прямих Чеви, відношенням Чеви (наприклад, відношення  - мал. 17).

Теорема 11. Різниця між сумою трьох відношень Чеви та їх добутком є величиною сталою і дорівнює 2.

Доведення. Доводиться ця теорема на основі теореми Ван-Обеля. Доведення теореми є в [1].

Перепозначимо:

Обчислимо значення  для частинних випадків:

)        Нехай прямі Чеви - медіани. Тоді  і

2)      Нехай прямі Чеви - бісектриси внутрішніх кутів. Тоді

3)      Нехай прямі Чеви - прямі Жергона:

Французьким математиком у 1818 році Жергоном була доведена наступна теорема:

Теорема 12. Якщо прямі    що виходять з вершини трикутника  перетинаються в точці  що є внутрішньою для трикутника (мал. 21), то

 і

Доведення. Теорема доведена в [1].

В теоремі Жергона розглядаються властивості прямих Чеви, що перетинаються всередині трикутника, або на його стороні. Розглянемо, чи не можна поширити теорему на випадок, коли точка перетину знаходиться за межами трикутника.

За теоремою Жергона (мал. 19)

Запишемо цю рівність наступним чином:

Якщо точка  лежатиме на одній зі сторін трикутника, наприклад на , тобто співпаде з точкою , то і отримаємо:

Нехай точка  знаходиться за межами трикутника  (мал. 20). Тоді

Отже, відповідно,

або

тобто теорема Жергона справедлива і в цьому випадку.

Теорема 13 (Понселе). Прямі, що з’єднують Будь-яку точку з вершинами многокутника, який має непарне число сторін, утворює на протилежних його сторонах такі відрізки, що добуток відрізків, що не мають спільних точок дорівнює добутку решти відрізків.