Курсовая работа (т): Теорема Чеви та її застосування

Теорема 7 (Чеви в формі синусів) [3]. Умову Чеви можна записати також у вигляді:

.

Доведення. Застосувавши теорему синусів до трикутників  і  (мал. 4), маємо:

 і .

Розділивши одну рівність на іншу, одержуємо:

.

Аналогічно:

, .

Остаточно маємо:

▲

1.4 Наслідки з теореми Чеви

1.      Медіани трикутника перетинаються в одній точці.

Доведення. Нехай задано трикутник  (Мал. 4),  - медіани трикутника. Тоді , , , звідси отримаємо наступні рівності:

, ,

Перемноживши їх, матимемо:

▲

2.      Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці.

Доведення. Нехай , , - бісектриси внутрішніх кутів трикутника (Мал. 4):

, , .

Звідси:

.▲

3.      Висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника.

Доведення. Маємо (з мал. 5):

, ,

, ,

, .

Звідси випливає:

.▲

Приклад 1. Центр описаного кола. Очевидно, що два серединних перпендикуляра, проведені до сторін трикутника, перетинаються в точці, рівновіддаленій від усіх трьох вершин трикутника, і значить, ця точка лежить і на третьому серединному перпендикулярі.

Але як довести цей факт, користуючись теоремою Чеви? Це хотілося б зробити і в даному випадку. Проте тут виникають труднощі, оскільки за природою своєю теорема Чеви створена для виявлення конкурентності чевіан, а не перпендикулярів до сторін трикутника. Проблему, що виникла можна подолати, розглянувши серединний трикутник (Мал. 6). Оскільки середні лінії паралельні сторонам вихідного трикутника, серединні перпендикуляри є висотами серединного трикутника. І ми звели задачу до випадку доведення третього наслідку!

Є і більш змістовний підхід до цієї проблеми.

Приклад 2. Точка Нагеля . Прямі, що проходять через вершини трикутника і ділять периметр навпіл - конкурентні і точка їх перетину є точкою Нагеля.

Доведення. Нехай  тобто точка  ділить периметр навпіл. Аналогічно  та . Звідси ми можемо записати добуток:

А звідси, за теоремою Чеви, прямі - конкурентні.▲

4.      Прямі, які з’єднують вершини трикутника з точками дотику вписаного круга, перетинаються в одній точці, ця точка називається точкою Жергона.

Доведення. Нехай - точки дотику вписаного кола. Тоді

  .

Отже,

1.5 Теорема Чеви: випадок зовнішньої точки

Теорема Чеви залишається справедливою для випадку зовнішньої точки  (точка перетину прямих, що проходять через вершини трикутника) і точок , , , одна з яких належить стороні трикутника (в нашому випадку ), а дві інші є продовженням сторін. (Звичайно, і «правило обходу» залишається в силі. Варто тільки пам'ятати, що при складанні відношення, виходячи з вершини, ми спочатку виходимо з точки поділу - вона може тепер бути розташована поза стороною, а потім - до наступної вершини.) Однак, розглядаючи зовнішню точку , ми натрапляємо на деякі складності.

Наприклад, якщо , чому дорівнює  (Мал. 9)? Де взагалі в такому випадку розташовується точка ?

Як нескладно перевірити, користуючись теоремою Фалеса, умові Чеви задовольняють і точки , , , для яких прямі , ,  паралельні (Мал. 10).

Щоб не виділяти ці ситуації в окремі випадки, зручно вважати, що площина містить нескінченно віддалену пряму, складену з нескінченно віддалених точок, в кожній з яких перетинається якась сім’я паралельних прямих. Можна тому вважати, що нескінченно віддалена точка вказує напрямок прямої. Таку модель в математиці називають проективною площиною. На проективній площині будь-які паралельні прямі перетинаються в деякій точці! - звичайно, нескінченно віддаленій.

§2. Теорема Карно

Подивимося, як «працює» теорема Чеви.

Теорема 8 (Карно) [3]. Нехай точки , ,  лежать на прямих , ,  відповідно. Нехай також, , , , , , . Тоді наступні умови рівносильні:

) перпендикуляри до відповідних сторін трикутника, проведені в точках , , , перетинаються в одній точці;

)  (умова Карно).

Доведення. Доведення базується лише на теоремі Піфагора. Нехай перпендикуляри перетинаються в точці . Не важко отримати наступні рівності (Мал. 11):

склавши які, і отримуємо умову Карно. ▲

Доведення зворотної теореми Карно (як і зворотної теореми Чеви) використовує пряму теорему.

Із теореми Карно конкурентність серединних перпендикулярів випливає так само природно, як і конкурентність медіан з теореми Чеви.

Можна показати, що рівні відрізки дотичних виражаються через півпериметр і сторони трикутника наступним чином:

, , .

теорема сінус чеви трикутник

§3. Деякі чудові перетворення, пов'язані з теоремою Чеви

Ізотомічне спряження. Зафіксуємо на площині трикутник . Виберемо деяку точку площини  і проведемо через неї і вершини трикутника прямі, що перетинають сторони трикутника (або їх продовження) в точках , ,  відповідно. Кожну таку точку відобразимо симетрично щодо середини тієї сторони, на якій вона лежить.

Отримані три точки позначимо через , ,  (Мал. 12). Тоді прямі , ,  також перетинаються в деякій точці . Ця точка називається ізотомічно спряженою до точки  відносно трикутника .

Коректність визначення ізотомічного спряження випливає із теореми Чеви: в умові Чеви чисельники міняються місцями зі знаменниками, і якщо вихідний добуток дорівнював одиниці, то «перевернутий» добуток теж дорівнює одиниці.

Ізогональне спряження. Зафіксуємо на площині трикутник . Знову виберемо деяку точку площини  і проведемо через неї і вершини трикутника прямі, що перетинають сторони трикутника (або їх продовження) в точках , ,  відповідно.

Тоді прямі , , , симетричні до прямих , ,  щодо бісектрис відповідних кутів трикутника, перетинаються в одній точці  (Мал. 13). Ця точка називається ізогональною до сполученої точки  відносно трикутника .

Для доведення коректності тут зручно скористатися теоремою Чеви в формі синусів: записана таким чином умова Чеви «перевертається», і якщо добуток відношень дорівнював одиниці, після «перевороту» він теж буде дорівнювати одиниці.

Ізотомічне та ізогональне спряження як перетворення площини. В геометрії спряженням називають перетворення  площини, що повертає кожну точку назад після дворазового застосування. Формально це можна записати так:  для будь-якої точки , або  (перетворення  в квадраті дає тотожне). Такою властивістю володіють симетрії відносно точки, прямої або кола (Інверсія). Очевидно, що і щойно розглянуті нами перетворення володіють цією ж властивістю. Однак вони влаштовані більш складним чином, наприклад, не зберігають прямі і кола (тобто образ прямої або кола може бути чимось іншим. Крім того, безпосередньо із означення випливає, що і ізотомічне, і ізогональне спряження «погано» діють на точки, розташовані на сторонах (або їх продовженнях) трикутника, що породжує ці перетворення. Будь-яка така точка під дією цих перетворень переходить в протилежну вершину, а вершини - в будь-яку точку на протилежній стороні. Порушується однозначність! Але якщо виключити з області визначення прямі, що містять сторони трикутника, однозначність відновлюється.

Однією з важливих характеристик перетворення є наявність (або відсутність) нерухомих точок, тобто точок, що залишаються під дією перетворення на місці. Легко зрозуміти, що нерухомими точками ізотомічного спряження є точка перетину медіан і точки, симетричні до вершин трикутника відносно середин відповідних сторін; нерухомими точками ізогонального спряження є центри вписаної й трьох описаних кіл.

За допомогою ізотомічного і ізогонального спряжень можна отримувати нові чудові точки, наприклад, анти ортоцентр - Hm (точку, ізотомічно спряжену до ортоцентра) або точку перетину антибісектрис - Im (точку, ізотомічно спряжену до центру вписаного кола).