Курсовая работа (т): Теорема Чеви та її застосування

Доведення. Нехай всередині п’ятикутника  (мал. 21) взята точка  і з’єднана з усіма вершинами. Потрібно довести, що

Розглянемо відношення площ трикутників та

Аналогічно отримуємо

Оскільки кути      то

що і потрібно було довести.

Те ж саме можемо записати наступним чином:

або

§7. Приклади застосування теореми Чеви

Задача 1. Знайти всередині трикутника таку точку , щоб добуток  мав найбільшу величину (- точки перетину прямих  зі сторонами ).

Розв’язання. Проведемо медіани  трикутника , що перетинаються в точці . Оскільки середнє геометричне двох величин не перевищує їх середнього арифметичного, то

Підносячи до квадрату кожну з отриманих нерівностей і перемножуючи їх, отримаємо:

На основі теореми Чеви маємо:

Очевидно, що має місце нерівність:

Нерівність перетворюється у рівність у випадку, якщо основи прямих Чеви дорівнюють серединам відповідних сторін. Отже, в цьому випадку добуток  має найбільшу величину, що дорівнює , де  - сторони трикутника.

Отже, шуканою точкою є точка перетину медіан трикутника.

Задача 2. Опустити за допомогою однієї лінійки, з точки, що знаходиться ззовні або всередині круга, перпендикуляр на діаметр.

Розв’язання. Нехай з точки  (Мал. 22) на діаметр  потрібно опустити перпендикуляр. З’єднаємо точку  з кінцями діаметра. Точку  - точку перетину  з колом - з’єднуємо з кінцем діаметра , а точку  - точку перетину  з колом - з’єднуємо з кінцем діаметра . Прямі  та  перетинаються в точці . Пряма  проходить через точку перетину двох висот і через вершину трикутника  і тому перпендикулярна до .

Теорема 14. Прямі, що виходять з вершин трикутника і ділять протилежні сторони пропорційно до протилежних кутів, перетинаються в одній точці .(Мал. 23).

Доведення. Маємо:

Теорема доведена. ▲

Ця теорема може бути узагальнена наступним чином:

Зауваження. Прямі, що виходять з вершин трикутника і ділять протилежні сторони пропорційно до одних і тих же функцій прилеглих кутів, перетинаються в одній точці:

ВИСНОВОК

Отже, в даній курсовій роботі розглядається теорема Чеви, наслідки з неї та приклади застосування даної теореми. Також наведено декілька теорем, які є наслідками з теореми Чеви. Зокрема, це такі теореми, як Карно, Ван-Обеля тощо. У моїй роботі вказано декілька прикладів застосування теореми Чеви. Ця теорема була і залишається актуальною. Вона є своєрідним фундаментом для встановлення нових важливих висновків.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.      Коксетер Г.С.М. , Грейтцер С.Л. Новые всречи с геометрией. - М.: Наука, 1978.- 224с.

2.      Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. - М.: УЧПЕДГИЗ, 1962. - вип.2 -152с.

3.      Мякишев А.Г. Елементы геометрии треугольника. - М.: МЦНО, 2002. - 32с.

4.      Ефремов Д. Новая геометрия треугольника, - Одеса: «Вестника опытной физики и элементарной математики», 1903.

.        В.В. Ткачук, Математика абитуриенту. - М.: МЦНМО, 2004. - 971с.

.        ЖИДКОВ С. І. Теореми Чеви i Менелая: від теорії - до практики. -Х. : Вид. група «Основа», 2010. - 159с.