Материал: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

кают повышенные напряжения, так называемые перенапряжения, или наблюдается увеличение токов, так называемые сверхтоки. Исследование и расчет переходных процессов позволяют в таких случаях разработать меры, уменьшающие интенсивность и длитель­ ность опасных для аппаратуры перенапряжений и сверхтоков. Поэтому изучение и расчет токов и напряжений в переходных режимах в электрических цепях является важной инженерной задачей. Рассчитать электрическую цепь в переходном режиме означает найти зависимости токов, напряжений или других пере­ менных от времени, прошедшего от момента коммутации до момента наблюдения этих величин. Как указывалось, момент коммутации обычно принимается за начало отсчета времени.

В зависимости от энергетического состояния электрической цепи различают два вида задач. Если электрическая цепь непосред­ ственно перед коммутацией не обладала запасом энергии, т. е. токи в индуктивностях и напряжения на емкостях были равны нулю,

Если электрическая цепь перед коммутацией обладала запасом энергии, то определение токов и напряжений в переходном режиме

Для расчета токов и напряжений в переходном режиме в раз­ ветвленной электрической цепи с сосредоточенными параметрами составляется система уравнений по законам Кирхгофа. Правила составления уравнений остаются теми же, которые использовались при расчетах мгновенных значений токов и напряжений в устано­ вившемся режиме.

Напомним, что мгновенные значения напряжений на отдельных элементах цепи связаны с токами в них следующими соотношениями:

напряжений на пассивных элементах цепи совпадают с положи­ тельным направлениями токов в этих элементах.

Так как мгновенные значения напряжений и токов в реактивных

гофа оказываются дифференциальными или интегродифференциальными уравнениями.

Например, для цепи, состоящей из г, L и С в последовательном соединении (рис. 10.1), уравнение по второму закону Кирхгофа имеет вид ца + uL + UQ = и.

При замене трех переменных одной это уравнение можно пере­ писать в нескольких формах.

252

Если в качестве основной искомой переменной выбирается ток і, предыдущее равенство превращается в интегродифференциальное уравнение:

Если в качестве основной искомой переменной выбирается на-

Для расчетов токов и напряжений в переходном режиме в слож­ ной электрической цепи можно воспользоваться также методом контурных токов или узловых напряжений. Полученная система уравнений должна быть приведена к одному уравнению с одной переменной. В качестве искомой переменной целесообразно выби­ рать ту, для которой известно или можно определить началь­ ное значение. Эта переменная должна подчиняться основному закону коммутации (см. форму­ лу 10.2 или 10.3).

искомой переменной следует отдать предпочтение напряжению на

грирования выражения тока и знания напряжений между обклад­

При анализе переходных процессов в линейных электрических цепях, когда параметры цепей постоянны, уравнения, составленные любым из методов расчета электрических цепей, обязательно при­ ведут к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Если исследуемая электрическая цепь после коммутации будет содержать источники энергии, полученное уравнение окажется неоднородным дифференциальным уравнением или уравнением с правой частью. К правой части уравнения отно­ сятся все слагаемые, содержащие э. д. с. и задающие токи генера­ торов. Общее решение неоднородного уравнения с постоянными

253

коэффициентами складывается из общего решения этого уравнения без правой части и частного решения того же дифференциального уравнения с правой частью.

В цепи, не содержащей источников энергии, переходный режим, описываемый однородными дифференциальными уравнениями, бу­ дем называть свободным, и напряжения и токи, полученные в ре­ зультате решения этих уравнений, будем также называть свобод­

характеристического уравнения, соответствующего данному диф­ ференциальному.

Если источники создают э. д. с. или задающие токи в виде постоянных величин или периодических функций, в качестве частного решения выбирается установившееся значение искомой переменной. Частное решение дифференциального уравнения в общем случае будем называть вынужденным и обозначать индек­ сом «в».

Таким образом, общее решение неоднородного дифференциаль­ ного уравнения для напряжения складывается из вынужденной величины ив и свободной «св — и также для тока і = ів + ісв.

Только общее решение представляет собой реальную физическую величину, существующую в цепи с момента коммутации до момента установления, т. е. от t — 0 до t = оо . Эту реальную физическую величину — ток или напряжение — именуют переходной.

Для определения произвольных постоянных должны быть известны добавочные условия, и, если произвольных постоянных п, то требуется п добавочных условий, которыми могут служить начальные условия как в виде значений искомых переменных так и в виде их производных в момент начала отсчета времени.

Начальные условия устанавливаются на основании законов коммутации: ток в любой из индуктивностей и напряжение на любой емкости скачком измениться не могут. Начальные условия должны быть независимыми. Иначе говоря, начальные значения токов или напряжений на каком-либо реактивном элементе цепи (элементе, способном накапливать энергию) не должны являться результатом линейных операций над начальными значениями токов и напряже­ ний на других реактивных элементах той же цепи. Число независи­ мых реактивных элементов цепи определяет число произвольных постоянных и степень характеристического уравнения, а следова­ тельно, и порядок дифференциального уравнения, описывающего поведение искомой переменной. Если в цепи имеются несколько индуктивностей (емкостей), соединенных последовательно или па­ раллельно, эти индуктивности (емкости) перед определением числа

254

независимых реактивностей должны быть заменены эквивалент­ ными.

Таким образом, порядок дифференциального уравнения, описы­ вающего работу электрической цепи, может быть определен до составления уравнений по числу независимых реактивных элемен­ тов цепи. Для пояснения сказанного рассмотрим несколько при­ меров возникновения переходных процессов в цепи, содержащей

іх и і.г определяют начальное значение тока і3. Начальное значение тока і3 не будет независимым. Если любую из катушек цепи рис. 10.2, в шунтировать сопротивлением, порядок дифференциаль­ ного уравнения возрастет до третьего и т. д.

На основании изложенного наметим последовательность рас­ чета переходных процессов в линейной электрической цепи с сосре­ доточенными параметрами:

1.С помощью непосредственного использования законов Кирх­ гофа или другим удобным методом (методом контурных токов и др.) составляется система дифференциальных уравнений для исследуе­ мой цепи.

2.Выбирается основная переменная и исключением других переменных из системы уравнений создается одно дифференциаль­

255

ляются токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в момент коммутации.

4.Вычисляется вынужденная составляющая для выбранной основной переменной.

5.Определяется свободная составляющая для выбранной в п. 2 переменной как решение того же дифференциального уравнения только без правой части.

6. Определяется выражение основной переменной как сумма

еевынужденной и свободной составляющих.

7.Определяются произвольные постоянные по начальным зна­ чениям (п. 3) и переходные значения искомых переменных.

Отметим еще раз, что физически существуют только переходные величины, равные в общем случае сумме вынужденной и свободной составляющих. Только на эти суммарные величины следует накла­ дывать начальные условия.

Далее рассматриваются примеры расчета и анализа переходных процессов в электрических цепях. Эти примеры имеют важное самостоятельное значение и хорошо иллюстрируют изложенную методику расчета.

§ 10.2. Переходные процессы в цепях, содержащих г и L

При составлении дифференциального уравнения для простой неразветвленной цепи в качестве основной переменной следует выбрать ток. Если цепь разветвленная и содержит несколько индуктивностей, то составляется система дифференциальных урав­ нений по законам Кирхгофа. Эта система путем исключения пере­

чальных условиях і (0) = 0. Запишем уравнение, составленное по

Решение уравнения будем искать, суммируя вынужденную и свободную составляющие.

Вынужденный ток ів является частным решением неоднородного уравнения.

Свободный ток і'с в является общим решением однородного урав­ нения, т. е. решением уравнения (10.4), если правую часть считать

256