Материал: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

преобразуются в операторные алгебраические уравнения для изо бражений.

3.Полученные операторные уравнения решают относительно

F(p).

4.От найденного изображения F (р) с помощью обратного пре

образования переходят к оригиналу /х (/), который и является иско мой функцией.

Таким образом, сложные математические операции решения дифференциальных уравнений заменяются решением простых алгеб раических уравнений, записанных в операторной форме. Опера

торный	метод можно сравнить с логарифмированием, где сначала
от чисел	переходят к логарифмам, потом производят относительно
простые	действия	над	логарифмами,	соответствующие действиям
над числами, а		затем	от найденного	логарифма возвращаются
к искомому числу.

§ 11.2. Преобразования Лапласа

Пусть дана некоторая функция вещественной переменной f (t) (например, ток или напряжение). Изображением по Лапласу назы вается функция, которая получается в результате вычисления инте

грала:	со
	со
F{p) = \f{t)^dt,		(11.1)
	о
где t — вещественная	переменная, а р =	а 4- /со — некоторая
комплексная переменная,	где о > 0.
Имея в виду прикладную цель данного		анализа, ограничим
рассматриваемые функции / (/) следующими		условиями:

1.Функция / (/) со своими производными непрерывна на всей оси t. Возможны исключения, а именно наличие конечного числа точек разрыва первого рода.

2.Функция / (t) равна нулю при отрицательных значениях t:

/(0 = 0 при t < 0.

3. Функция / (0 возрастает не быстрее показательной функции: существуют постоянные числа M > 0 и S0 S Î 0, такие, что для всех t

| / ( 0 | < M e s » ' .

Надо заметить, что в подавляющем большинстве инженерных задач функция / (0 отвечает поставленным условиям. В дальней шем предполагается, что рассматриваемые функции-оригиналы удовлетворяют этим условиям. К оригиналам нельзя, например, отнести функцию / (0 = еіг, так как она не удовлетворяет указан ным требованиям.

304

Если	/ (/)	удовлетворяет сформулированным трем условиям, то
при а >	5 0	lim f (t) erpt -> 0 и интеграл (11.1) существует.

( — оо

Особо подчеркнем, что между изображением и оригиналом нет равенства, а есть только соответствие. Это важное положение под черкивается условной записью, связывающей изображение с ори гиналом. В литературе встречаются следующие виды символов, связывающих оригинал с его изображением:

f(t)^F(p), F(p)=X{f(t)},

f(t) = F(p), f(t) = %-i{F(p)}u

др.

Соответствие между оригиналом и изображением будем запи сывать в таком виде: /(/)== F (р) или F (р) Ф f (t). Такая запись означает, что заданная функция f (t) имеет своим изображением функцию F (р) или изображение F (р) имеет своим оригиналом / (t).

Наряду с преобразованием Лапласа широко используется также преобразование Карсона—Хевисайда:

	со
FK(p)	= p\t(t)z-ptdt.	(11.2)
	о
(индекс «/С» указывает на	преобразование по Карсону,	которое

отличается от преобразования по Лапласу множителем р). Сопо ставляя (11.1) с (11.2), можно установить, что

F*(p) = pF(p),

т. е., зная изображение по Лапласу, легко найти изображение по Карсону и наоборот.

Преобразование по Карсону имеет некоторое преимущество. По Карсону размерность оригинала и его изображения одинаковы, что не имеет места в преобразовании по Лапласу. Тем не менее будем пользоваться преобразованием Лапласа, так как оно тесно связано с преобразованием Фурье и может трактоваться как обобщение

преобразования	Фурье (см. гл. X I I ) .
§ 11.3.	Основные свойства преобразования Лапласа
	и	изображение простейших функций
В первую очередь укажем, что соответствие между			оригиналом
и изображением		взаимно однозначны, т. е. что каждой функции
/ (t) соответствует		одна вполне определенная функция	F (р) и нао
борот.

При умножении оригинала на постоянную величину на ту же постоянную величину умножается и изображение

af(t)=aF(p). (11.3)

305

Действительно

СО	CO
$ af (t) (ГрІ	dt = a]f(t) e'pf dt = aF (p).
b	о

Если оригинал представлен суммой функций, то изображение этой суммы равно сумме изображений этих функций (изображение линейной комбинации оригинальных функций есть линейная ком бинация изображений):

	(О + oaf2(0 + --- + akfk					( / ) + . . . + ajn			(t)	#
	= öi^i (p) + a2F2		(p) + ... + akFk(p)+...					+ anFn		(p),	(11.4)
т.	e.
		2	^fk	(0 =	2	akFk (p).
	Доказательство вытекает непосредственно из свойств опреде
ленного интеграла.
	1. Изображение единичной функции. Вычислим									изображение
единичной функции / (t) = 1 (t).
		со
	F(p)=^		1 ( 0 е - ^ Л		=	- 1 \| е - ^ \| »		=	1		(11.5а)
		о
	Изображение	постоянной		А,	возникающей			в	момент		времени
/ =	0, легко найти, если ее представить						с помощью единичной
функции как некоторую функцию времени, записав / (t) =											А • 1 (/).
Тогда на основании (11.3) будем иметь
		f(Q=A-l(f)				= A±.					(11.56)
	Изображение	постоянной		равно		самой	постоянной,				деленной
на	р.
	Очевидно, если бы мы пользовались преобразованием										по Кар-
сону, то изображением постоянной была бы сама									постоянная:
		f(t)	= A-l(t)=FK(p)			=	A

иразмерности оригинала и изображения были бы одинаковыми.

2.Изображение импульсной функции. Фильтрующие свойства импульсной функции, изложенные в гл. X (см. формулу 10.60),

позволяют найти	изображение		ô (/).	Так как интеграл от ô (t)
в интервале существования		ô (/)	равен	единице,
	оо			оо
F(p)	= \ e~pt8 (t) dt = е"р о \ 6 ( / ) Й = 1 .
	о			ü
В результате получаем		операторное соотношение
		о(0 = 1.		(11.6)

306

Изображение импульсной функции равно единице. Аналогичным

образом		можно найти		изображение
				Ô ( * - * ! ) = е - Р ' « .
Этот же результат			можно получить при помощи теоремы запазды
вания	(см. § 11.10, 2).						функции. Пусть / (/) = е~а'
3.	Изображение		экспоненциальной				функции. Пусть / (/) = е~а'
(а — положительное вещественное число), тогда
		со	со					Г = _ І -
								Г = _ І -
F(р) =		j & a t z p t	dt=^	e'^Pi1	dt = -		-^—	\e-W
Таким	образом,					1+ p "
				e ш	= •a	1+ p "		(11.7)

Если положить, что а = —/со, то

е№" = - 1

р — іш

Зная изображение показательной функции, можно найти изо бражение синусоидальных функций, используя формулу (11.4) преобразования Лапласа. Выше было найдено

е>ш' = cos at + j sin at—-		г— = ', • „ .
1 1	' p — /со	p 2 - f - o j 2

Сопоставляя вещественные и мнимые части, получим cos at = р 2 + со2 '

sin at	CO
	' p 2 - j - CO2

Пусть

(11.8)

(11.9)

/ = I m sin (at + \p) = / m		cos г\|з sin at +				I m sin i\|) cos со/.
Изображение тока	обозначают		/ (р) или t.
/ ІР) = Іт COSIp-	/ т sinop		3 + [ û 2 ' m		/ .	^	І Й ^ 1 .		(11.10)
p2 +	C Û 2 I ' m — T	p	3 + [ û 2 ' m			p2+	( û 2
								со
4. Изображение /л . Пусть / (/) =				t, тогда F (p) = $ /е~р '					Инте-
								о
грируя по частям (\judv = uv — \)v du^j и полагая, что и — t,a									é~ptdt~
= du, найдем
F{P) =	-pt		р-р/		1		-pt	= £ ,	(11.11)
F{P) =	- s -		—	dt = 0 + ~				= £ ,	(11.11)
	- s -		p		' p

~ p 2

307

Найдем	изображение функции				/(/) = --,			где п\ —факториал и
п > 0. Имеем				оо
				оо	Ï1
		F(p).			Ï1	-pi	dt.
Этот интеграл легко вычисляется по частям:
оо				оо				со
								1)1
Таким	образом, изображение						равно	изображению ^ _ ^ ]
деленному на р. Принимая во внимание (11.11), находим
	Р	.	1	t3		1
	2!	•	рз '	3! ~		р*	И Т < Д -
Следовательно,
		n!	г>Я+1 I					(11.12)
		n!

§ 11.4. Изображения производной и интеграла функции

1. Изображение производной. Допустим, дана некоторая функ ция / (/) и известно ее изображение F (р). Найдем изображение про изводной этой функции. Пусть /' {t) = ф (/), и требуется найти ее изображение Ф (р). Тогда

		ОО		СО		0 0	5 e'pt df (t).
	ф (р) =	\ ф (0е - р ' Л =			5 /' (/) e-pt dt =		5 e'pt df (t).
		О	О		О
Интегрируя		по	частям,	получим
					со
	Ф (р) H е-*/ (0 I f -				( - Р ) \ f (t) e'pt		dt =
			со		О
			со	/(/) e-ptdt =		PF(p)-f(0)
	=	- / ( 0 ) + Р $		/(/) e-ptdt =		PF(p)-f(0)
			о
/так	как lim f (t) e'pt		= 0 согласно условию			существования инте-
\	г — 0 0

грала Лапласа). Итак, изображение производной имеет вид:

f'(t)=pF(p)-f(0),	(11.13)
где / (0) — значение функции / (/) при / =	0.

Вычисление производной функции при нулевых начальных усло

виях [/ (0) =	0] соответствует умножению изображения	функции
на множитель	р
	f'(t)=pF(p).	(11.14)

308

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/125945

Смотрите также:








Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»