Материал: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Операция дифференцирования оригинала заменяется для изо­ бражений операцией умножения изображения на р. Множитель р играет роль оператора: умножение изображения на р соответствует дифференцированию оригиналов (при нулевых начальных условиях). Используя формулу (11.14), можно найти вторую производную оригинала:

/ " (О = ф' (0 = рФ (р) - Ф (0) = р [pF (р) - / (0)] - / ' (0),

или

Г(І)ФР2Р(Р)~РІ(0)-Г(0). (11.15)

Повторяя эти вычисления п раз, получим изображение произ­ водной оригинала п-го порядка:

/(») (/) == p*F (р) - р*-Ц (0) - р - 2 / ' (0) - . . . - р ' 1 ' (0),

или

При этом предполагается, что f (t) и все ее производные до п — 1 включительно непрерывны.

Если начальные значения самой функции и всех ее производ­ ных равны нулю, то изображение первой и высших производных упрощается и находится по изображению исходной функции простым умножением на множитель р в степени, соответствующей порядку производной:

/ ' ( / )# pF(p),

f(ft> (0 #pf t F(p).

2. Изображение интеграла. Известно изображение некоторой функции / (/). Требуется определить изображение функции, явля­ ющейся интегралом функции / (/):

q(t) = {f(t)dt.

о

о

Так как / (/) = г|/ (t) ф ргр (р)-ар (0), a гр (0) = \ f (t) dt - 0, то

о

/ ( 0 # Ж Р ) -

Но изображение / (t) Ф F (р) известно. Стало быть можно запи­ сать

. /Г (р) = ргр(р).

309

Таким образом, окончательно имеем

о

Интегрированию функции / (t) в пределах от 0 до t соответствует деление изображения этой функции на р. При многократном инте­ грировании в пределах от нуля до t можно получить общее і выражение:

Множитель 1/р перед изображением играет роль оператора, соответствующего операции интегрирования оригинала. Еще раз отметим: формулы (11.14) и (11.17) показывают, что дифференци­ рование и интегрироване функции / (t) при нулевых начальных

Найдем теперь изображение неопределенного интеграла:

q(t) = \f(t)dt.

Как известно, неопределенный интеграл вычисляется с точностью до произвольной постоянной. Для большей наглядности наших рассуждений возьмем конкретный пример и найдем изображение напряжения на конденсаторе:

Но в этом выражении не учтено, был ли заряжен конденсатор до начала переходного процесса. При ненулевых начальных усло­ виях к моменту t = 0 конденсатор уже заряжен до некоторого установившегося напряжения ис (0) и, следовательно, обладает запасом энергии. Для того чтобы учесть ненулевые начальные условия, напряжение на конденсаторе нужно записать так:

— со

Иначе говоря, неопределенный интеграл следует рассматривать как некоторый определенный интеграл с нижним пределом в общем случае равным — оо и переменным верхним пределом t. Такая

310

запись позволяет представить ис в более общем виде:

— оо

конденсаторе к моменту возникновения переходного процесса в цепи. С учетом сказанного

u

Изображение напряжения на конденсаторе в этом общем случае можно найти, используя (11.17) и (11.5):

Второе слагаемое в (11.20) есть изображение постоянного напря­ жения ис (0) = const.

§ 11.5. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

при нулевых начальных условиях

Напомним, что задачами с нулевыми начальными условиями являются задачи, в которых рассматриваются цепи, не обладавшие до коммутации запасом энергии, т. е. цепи, в которых до начала переходного процесса все токи в индуктивностях и все напряжения

311

или

Это равенство можно записать в форме закона Ома:

r + L"+Cp

Знаменатель формулы (11.21) называется сопротивлением (пол­ ным сопротивлением цепи в операторной форме):

Z(p) = r + pL + ± .

Закон Ома в операторной форме при нулевых начальных усло­ виях имеет вид

/(р)ѵ>= z (р)^•

Составляющие ri (p), Lpl (p), ~ / (р) представляют в оператор­ ной форме соответствующие падения напряжения на отдельных

элементах последовательной цепи.

Каждое из этих напряжений получено в результате умножения изображения тока на сопротивление участка цепи, записанное в опе­ раторной форме. Из (11.21) следует, что сопротивления отдельных

pL — индуктивное сопротивление в операторной форме; —, — емкостное сопротивление в операторной форме.

Нетрудно заметить, что структура полного сопротивления цепи в операторной форме и полного сопротивления в комплексной форме

нить на р. Сопротивление цепи в операторной форме — оператор­ ное сопротивление Z (р) — есть новая, более общая форма сопро­

няемым в символическом методе. Подчеркнем, что это сходство чисто формальное. Принципиальная разница очень велика. Применение операторного сопротивления позволяет решать задачи, относящиеся к любому режиму в цепи при любой форме внешнего воздействия. Символический метод и связанное с ним понятие комплексного сопро­ тивления позволяют решать задачи лишь при гармоническом воз­ действии и в установившемся режиме. Наряду с операторным сопро-

312