Материал: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Т а б л и ц а 11.2

Некоторые свойства преобразований Лапласа

№.

Свойство

п/п

1 Теорема линейности

2Дифференцирование ори­ гинала

3Интегрирование оригинала

4Дифференцирование изоб­ ражения

5Интегрирование изображе­ ния

6Теорема подобия

7Теорема запаздывания

8

Теорема

смещения (зату­

хания)

 

 

 

9

Теорема

свертки (умноже­

ния изображений)

 

Формулы

п п

2

aefe (0 Ф I]

aeFe (p)

s = l

e=l

 

/' (0 = pF (p) -

f

(0+)

n

 

 

/<»> (0 =bp"F (p) - 2

fte~X)

(0) pm~e)

e =

\

 

0

(...S/«flWC#, <?

0 0

F'

(p)= - //(0

ft n '

(P) Ф ( - 07 (0

С О

 

Д ^ - У = е - ^ ( р )

Ht)e-*=F

(p + a)

i

 

Fx (p)Fi(p) = \f1

( T ) / , ( * - T ) . d T =

0

 

г

 

0

328

Возвращаясь вновь к обозначению переменной через t,

со

ij j / ( 0 e - ^ = i / 4 P l ) = i F

Окончательно имеем

/ (at) =± — F

\а

(11.40)

' 4

' • а

т. е. умножение аргумента оригинала на положительное постоян­ ное число а приводит к делению аргумента изображения и самого изображения F (р) на то же число а. Например,

Ф (at) = / (hat) = sin k(ùt,

f (t) = sin at == F (p)

 

a

Ф(р) = 1

со

p 2

+ £ 2 c o 2 '

 

+ co2

 

 

 

2. Теорема запаздывания. Эта теорема позволяет определить изображение временной функции с запаздывающим аргументом по изображению той же функции, начинающей свои изменения при

t = 0. Иначе говоря, теорема запаздывания позволяет определить изображение функции ф(/) = / (t — tt), которая отличается от / (/) тем, что сдвинута вправо вдоль оси времени на tx\

Ф ( 0

0

при t<Ctx

f(t-h)

t>ti.

 

Графики функций f (f) и ф (t) приведены на рис. 11.3. Изобра­ жение определяется так:

со

со

Ф ( Р ) = \f(t-ti)e-ptdt=

Ifit-tàe-Pdt,

о

tt

так как в интервале (0 — tx) функция ф(/) = 0.

329

Если обозначим

t — /,

=

т, то / = т + і ъ

dt =

dt. Для

новой

переменной нижний

предел

интегрирования

станет

равным

нулю:

со

 

 

оо

 

 

 

$ / ( f - f i ) e - P < Ä = $ / ( T ) e - p < * + ' ' > d T =

 

: е - р ' '

^ / ( т ) е - Р т dx = e-p ''F(p).

 

(11.41)

Таким образом, запаздывание функции на время tu т. е. сдвиг исходной функции вдоль оси времени на tlt соответствует умноже­ нию ее изображения на е~рік Теорема запаздывания дает возможность определить изображение кусочно-непрерывных функций, причем изображение представляет собой непрерывную функцию р.

4>(t)

ff

и

t

Рис.

11.4

Рис.

11.5

В качестве первого примера определим изображение прямоуголь­ ного импульса ср (t), действующего от tx до /2 , (рис. 11.4). Этот им­ пульс можно записать с помощью единичной функции:

ср ( 0 = 1 ( / - / і ) - 1 ( / - / 2 ) .

Всоответствии с доказанной теоремой изображение

Ф(р) =

- [ е - * ' — е-р'*].

Если tx — О, то

 

Ф(р) =

^ [ 1 е - " ' 2 ] .

Определим изображение последовательности прямоугольных импульсов, возникшей в момент начала отсчета времени (рис. 11.5). Записать ее можно в-следующей форме:

Ф ( / ) = 1 ( 0 - 2 - 1 (t-tà + 2- \Ц-2к)-2-

1 ( / - 3 / 0 + ...

Используя теорему запаздывания, получим изображение

1 - 2 - е - Р ^ + г - е - 2

^ »

.2 ±е~3Р^

+ .,

P

P

Р

 

Р

 

= 2 - ( 1

• е - ^

+ е-

.е-зр<.4....)

— - 1 .

р ѵ

 

 

 

 

 

330

Выражение в скобках представляет собой геометрическую

прогрессию со знаменателем

прогрессии — e'pti.

Окончательно

 

 

Ф(р)

1

1— е — р і і

Р

1 + е - -pti

3. Теорема смещения. Теорема смещения позволяет по извест­

ному изображению

функции. / (t) == F (р) найти

изображение но­

вой функции ср (/),

которая отличается от / (/)

экспоненциальным

множителем ë~at, где а — постоянное

число.

 

 

Новая

функция

имеет вид ср (t) =

f (t) e~at.

Изображение

 

 

со

 

со

 

 

 

 

Ф (р) = 5 ср (/) е-p t

dt = \ f (t) е- <а + р > '

dt.

 

 

n

 

о

 

 

 

Обозначив

р + а = ри

получим

 

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

Ф (p) = l f

(t) е -

dt = F (Pl) = F (p +

a).

 

 

о

 

 

 

 

 

Таким образом, умножение временной функции / (t) на экспонен­ циальный множитель вида ë~at влечет за собой «смещение» в области изображений независимой переменной р на р + а. Математически сущность теоремы смещения записывается так: если

f(f)

= F (р), то / (0 е~а ' = F

(р + а).

(11.42)

Поэтому теорему

и называют теоремой

смещения.

Так как

е~о/ при вещественном положительном «а» указывает на затухание функции, то эту теорему называют также теоремой затухания.

Практически ценность теоремы смещения явно проявляется при определении изображения экспоненциально убывающих функций. Например, требуется найти изображение функции

ср (t) = sin cote-™'.

Известно, что sin at ==-тт—•>•

 

•

p2 + Cû2

 

 

 

Согласно найденному соотношению (11.42)

Ф (р) = ^

.

в

4. Теорема свертки

(интеграл

Бореля).

Теорема заключается

следующем: если

 

 

 

 

то

h(t)

= Fi(p),

f*(f) =

Ft(p),

 

 

 

 

 

 

Ф (p) = F, (р) Р(р)фц>

(t) = ( h (T)

f2 (/ - T) d t = J f ! (f -

T) h (T) dT .

 

 

о

 

0

(11.43)

 

 

 

 

 

 

Как отмечалось в гл. X, ср (t) называется сверткой функции fx (t)

и

/ 2 (0.

 

 

 

 

331

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/125945

Смотрите также:

Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»