Материал: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

операторное

сопротивление

связи

между

k и m контурами. Напо

мним, что Zkm

(р) в определителе

имеет знак

«плюс», если положи

тельное направление токов Ік(р) и Іт

(р) в общей

ветви

совпадают,

и знак «минус» — в противоположном

случае.

Обозначим определитель

системы через А (р), а через А п

(р) —

алгебраическое

дополнение

элемента

определителя

(р). Тогда

h(p)

= E(p)^.

(11.26)

Величина

T^~4- = ZB X (р)

представляет

собой

входное

сопро-

тивление. Если

развернуть

А (р) и

А и

(р), то они

представятся

в виде многочленов, содержащих как положительные,

так и отри

цательные степени р.

Для того чтобы не иметь дело с отрицательными степенями р,

умножим каждый столбец

определителя

А (р) и алгебраического

дополнения

Д и (р) на р, т . е . вместо

Zkm

= гкт

+ Lkmp

-J— р~1

Lkmp2

+ rkmp

'-'km

элементами

определителя

будут

трехчлены:

- f -~—.

Видоизмененный

таким образом определитель будет

^кт

равен А'(р) =

= ря А(р), а алгебраическое

дополнение

Д и

(р) =

p n

_ 1 A u (р). Оче

видно, теперь

входное сопротивление

(п)=ЛЖ

= РП'1А'(Р)

А'Р

,П27)

Ап(р)

р»А-п(Р)

Р^ЛРУ

{

}

Определитель А' (р) и алгебраическое дополнение AJ, (р), бу дучи развернуты, представляют собой соответственно многочлены степени 2s и степени 2s — 2 с вещественными коэффициентами. В ре зультате Z (р) можно представить следующим образом:

7	Іп\	-	А ' Р -	P « P M + ß « - i P M ~ 1	+ -	+ ßiP +Po	n i m
Z b x	W	-	рД;, (p) -	a t s - J K - l +	... +	aip	'

где ß и а — постоянные коэффициенты. Отметим также, что изобра жения заданных э. д. с. или токов являются обычно рациональными алгебраическими функциями р. Поэтому можно утверждать, что изображение искомой переменной F (р) имеет вид правильной дроби:

р/п\	= А (Р) =	атРт	+ ат~іРт~1	+	--- + аіР + ао	Л 1 9 0 Л
' w	В(р)	ьпрп	+ ьп_іР"-і	+	... + ьіР + ъ0-	^l-zy>

Такой вид функции F (р) практически охватывает решение всех задач, относящихся к обыкновенным дифференциальным уравне ниям с постоянными коэффициентами, т. е. весь класс задач, отно сящихся к переходным режимам в линейных цепях с сосредото ченными параметрами.

Мы определяли ток в том же самом контуре, в котором действо вала э. д. с. Это отнюдь не ограничивает общности наших рассуж дений. Подобным же образом можно получить выражение изобра жения тока в контуре к при включении э. д. с. в контур п.

3 1 9

3. Теорема разложения. Теорема разложения или формула раз ложения используется для определения оригинала, когда изобра жение искомой функции (тока или напряжения) найдено в виде ра циональной дроби:

р(р)=ш<

(11-30>

где А (р) и В (р) — полиномы относительно р. Предположим, что знаменатель В (р) имеет я только простых корней: р 1 ( рг, рк, ...,р„. Наличие только простых корней можно выразить так:

B'(pk)-dB(p) dp

Рациональная дробь щ^у в этом случае может быть разложена на простые дроби, т. е. можно написать

4M=

^i_+

_ii?__i-...+

_ i * _ + . . . +

_f!zL_=

у ( 1 1 . 3 1 )

Bip)

P-Pi

•

P-Pk

P-Pn

i - J

P-Pk'

где Alt

Аг,

Ak,

.., An

k=i

— постоянные коэффициенты, которые не

обходимо определить.

Постоянные

коэффициенты Ak

определяются

следующим спо

собом. Обе части

равенства

(11.31)

умножаются

на (р — рк):

Л iP)jp-Pk)

P-Pk

P-Pk .

, л

P-Pk

Bip)

A i

p -

p + A

p - p + - -

Ä k + - - - +

n p _ P

n -

Л А + ( р - р , )

Атр-ер^-

(и -32)

m = l

тфк

Так как это разложение должно быть справедливо для любых зна чений р, т. е. соотношение (11.32) представляет тождество, то, под ставляя в левую и правую части р = pk, получим справа коэффи циент Ак (все остальные слагаемые обращаются в нуль). В левой же части появляется неопределенность. При р = pk знаменатель обращается в нуль, так как рк есть корень уравнения В (р) = 0. Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя, найдем:

l i m	А{р)ір-Рк)		jiP-Pk)AiP)	A ( p k )
PTPk	Bip)	- ; i m P k	\| ß ( p )	B>ip)P^k

(индекс p = рк означает, что в выражении производной В' (р) следует подставить рп вместо р). Таким образом,

Ak=	A ( P k )
	B'ip)

320

Изображение в виде суммы простых дробей (см. формулу 11.31) можно теперь представить суммой:

£ £ > в У л 4 _ ! _ .					(И.зз)
В(р)	1шт	P — Pk		V	'
	ft=l
От изображения в виде суммы		простых дробей легко		перейти
к оригиналу, используя таблицы		соответствий (см. табл. 11.1).
Согласно таблице соответствий	находим
1 .		рЛ
P-Pk	— : е * .
P-Pk
Следовательно, искомая функция / (/) может быть представлена
следующим образом:
	А	( Р к )	epk'.	(11.34)

Полученное равенство называется формулой или теоремой раз ложения. Трудность применения теоремы разложения заключается в определении корней уравнения В (р) — 0, т. е. решении алгебраи ческого уравнения степени, п. Если В (р) среди корней имеет один корень, равный нулю, формуле разложения можно придать другой вид:

		В(р)=рВ1(р),
		В'(р) = В1(р) +	рВ[(р).
	Воспользовавшись формулой (11.33), выделим отдельно слагае
мое, соответствующее нулевому корню, который обозначим рп+1					= 0,
считая при этом, что Вх (р) имеет п			простых	корней. Поэтому
В'	(рл + і) =	#і (0), а для любого другого корня		В' (pk) = pk	B[(pk),
так	как Вг	(рк) = 0. Тогда формула (11.34) примет вид

4 = 1

Полученное выражение является другой формой записи теоремы разложения. Эта форма записи отличается только тем, что здесь непосредственно видно, чему равна функция / (t) в установившемся режиме:

			[XLf(t)	=	AB.	* i ( o >	'
так	как для реальных цепей ер *' обращаются						в нуль	при / = оо.
	Вычисление оригинала		по	теореме		разложения следует			вести
в следующем порядке:
	1. Приравнивая	В (р)	нулю, - определяют				корни	рх,	pz,
Рк,	"M Рп.
11	и/р, Кляцкина<	-		321

2. Вычисляют производную знаменателя дроби В' (р) и под

ставляют в нее поочередно корни рх,			р2 ,	pk,	рп.
3. Вычисляют		числитель, подставляя в		него корни рх, р2 , ...
pk-,	Рп-		/ (t),
4. Определяют		искомую функцию		произведя		вычисления
отдельных слагаемых и суммируя их.
Отметим, что число корней рк знаменателя					равно	степени ха

рактеристического уравнения, или, иначе говоря, равно порядку дифференциального уравнения.

§ 11.7. Некоторые вспомогательные приемы вычисления оригинала

Остановимся на некоторых вспомогательных приемах, позволяю щих найти оригинал по изображению функции, которое не удовлет воряет требованиям, дающим право применить теорему разложения

ввиде формулы (11.34).

1.Рассмотрим случай, когда изображение в виде рациональной

дроби	содержит в знаменателе			корень р =		0 кратности п,
а остальные		корни — простые. На		основании		(11.18) оригинал
можно найти по следующей формуле:
	FW=Ш		= Фш ^nt)=	\dt\dt	• • • \h {t)dt' (11 '36)
			0	0	0
					n р а з
где fx	(t) есть оригинал изображения			^	определяемый по уже из
вестным правилам, так как многочлен Вх					(р) содержит только про
стые	корни.
Например, дано изображение
Оригинал Fx		(р)	можно найти по таблицам р^_аФ			е~аі.
		t	t

Тогда f (t) = J dr J e-«' dt = e " ^ + a f ~ ' •

о0

2.Пусть изображение искомой функции содержит в знаменателе

В(р) два равных корня рх = р 2 = —а. Теорема разложения в виде формулы (11.34) для определения оригинала не применима, так как изображение содержит кратные корни, т. е. не удовлетворяет требо ваниям, сформулированным при доказательстве теоремы. Предпо

ложим, что корни не равны друг другу, например, рх = —a, a р 2 = —ß = —(а -f- Да). Будем искать оригинал для другого изоб ражения, подобного исходному, но не имеющего кратных корней. В этом случае можно применить теорему разложения и найти ори-

322

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/125945

Смотрите также:








Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»