Материал: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

и вещественная часть спектральной плотности

При этом модуль спектральной плотности

Перейдем теперь к обратному преобразованию Фурье. Предва­ рительно спектральную плотность запишем в показательной форме:

F(/(o) = |F(/û))|e-/ *.

Формулу (12.12) обратного преобразования Фурье представим в три­ гонометрической форме:

-f-oo

Согласно выражениям (12.14) и (12.15) аргумент спектральной плотности гр есть нечетная функция со. Модуль спектральной плот-

Рис. 12.8

ности есть четная функция со. Поэтому второй интеграл последнего выражения равен нулю. Окончательно

В качестве расчетной последняя формула обратного преобразо­ вания Фурье не имеет преимуществ по сравнению с формулой (12.12). Однако она весьма полезна и дает наглядное представление о том, что практически любую функцию времени, встречающуюся при расчете электрических цепей, можно разбить на гармонические составляющие.

351

§ 12.2. Изображение по Фурье некоторых форм импульсов

1. Спектр прямоугольного импульса. Пусть задан прямоуголь­ ный импульс, изображенный на рис. 12.4, г, и требуется определить его спектральную плотность. Высота импульса Е и длительность его х. Начало отсчета времени выбрано таким, что импульс ока­ зался симметричным относительно оси ординат подобно тому, как это имеет место на рис. 12.3. Аналитическое выражение импульса можно представить в такой форме:

Для разложения импульса можно воспользоваться формулой (12.16) вместо общей формулы (12.11):

F(j<ù)= § f (t) cos at dt = 2Е ^ cos at dt = ~ sin Y . (12.18)

Выскажем некоторые соображения по поводу результатов раз­ ложения прямоугольного импульса. Предварительно определим значения со, при которых амплитуды гармонических составляющих

Следовательно, с уменьшением длительности импульсов расши­ ряется полоса частот между соседними нулевыми значениями ам­ плитуд гармонических составляющих.

Для передачи импульса от генератора к приемнику с помощью электрической системы передачи эта система должна обладать опре­ деленной полосой пропускания равной или большей ширины спект­ ра. Под шириной спектра в инженерном смысле понимают огра­

352

димая полоса частот обратно пропорциональна времени существова­ ния импульса. Чем короче импульс, тем больше необходимая для передачи полоса частот. Это положение справедливо и для любой формы импульса.

На основании формулы (12.18) может быть определена спектраль­ ная плотность импульсной функции. Для этого предположим, что продолжительность прямоуголь­

но равно единице при любом значении т. Тогда

нет равным бесконечности. Огибающая спектральной плотности превратится в прямую, параллельную оси абсцисс, поднятую над осью абсцисс на высоту, в относительных единицах, равную еди­ нице. Это означает, что импульсная функция содержит все гармо­ нические составляющие с частотами от — оо до + оо и амплитуды этих составляющих одинаковы.

2. Спектр единичной функции (единичного скачка). Сложность определения спектра единичной функции / (/) = 1 (/) объясняется тем, что непосредственная подстановка 1 (/) в выражение прямого преобразования Фурье не приводит к разложению на гармонические

со

составляющие, так как интеграл § 1 (г) e~faf dt не сходится в беско-

о

нечных пределах. Поэтому для разложения 1 (/) на постоянную и гармонические составляющие воспользуемся искусственным при­ емом.

Изобразим единичную функцию 1 (t) (рис. 12.9, а) в виде суммы слагаемых:

і (О = Ы ' ) + / « ( ' ) •

Первое слагаемое fx (t) (рис. 12.9, б) представляет собой вели­ чину, равную 1/2 при всех значениях / от — оо до + оо. Иными сло­ вами, спектр fx (/) содержит только постоянную составляющую, рав­ ную 1/2.

Второе слагаемое единичной функции /2 (0. изображенное на рис. 12.9, в, можно рассматривать как последовательность пря­ моугольных импульсов, изображенных в первой строке табл. 8.1. Предположим, что продолжительность периода повторения импуль­ сов увеличивается и Т -> оо. Спектр функции при этом из линейча­ того превратится в сплошной. Разность между соседними (нечетными) частотами Асо = 2со0. При Т -> оо она будет уменьшаться, т. е. А со ->• dco. Линейчатый спектр с дискретными частотами ßco0 пре­ вратится в сплошной спектр с текущей частотой со. Тогда

Этот интеграл называется интегралом Дирихле. Значения ин­ теграла Дирихле зависят от величины t:

Таким образом, разложение единичной функции на составляю­ щие приводит к выражению

со

о

Выражение (12.19) можно переписать иначе:

со

О

Сравнение последнего интеграла с выражением (12.17) позволяет сделать следующее заключение:

|/Ч/со)| = і и. г|> = | .

Следовательно, спектр единичной функции, кроме постоянной составляющей, содержит синусоиды, амплитуды которых убывают с ростом частоты, а начальные фазы их постоянны. В комплексной форме спектральная плотность единичной функции может быть выра­ жена следующим образом:

354