Материал: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

3. Спектр отрезка синусоиды. Пусть отрезок синусоиды содер­ жит целое число периодов, симметрично расположенных относи­ тельно начала координат (рис. 12.10). Согласно рисунку / (t) =

= Е sin со0 t при значениях t, лежащих в пределах от t — — ~Т.

до t = + ~ T, k — целое число периодов, укладывающихся в отрезке

Рис. 12.10

(на рис. & = 4). Спектральную плотность функции ищем с помощью выражения (12.16а):

формуле в форме одной кривой, дано на рис. 12.11. При —k, рав-

ном целому числу, амплитуда гармонической составляющей равна нулю. При со = «о амплитуда гармонической составляющей мак­ симальна. Полосы частот между значениями со, при которых F (/со)

обращается в нуль, равны "~ • Отсюда следует, что с увеличением

длительности импульса, т. е. с увеличением числа периодов импульса k, график кривой спектральной плотности сжимается.

Приведенные примеры прямого преобразования Фурье знакомят с техникой определения спектральной плотности непериодических

Рассматриваемые далее свойства преобразований Фурье часто позволяют наиболее просто по заданной непериодической функции времени / (t) находить ее спектральную плотность F (/со) или по заданной спектральной плотности F (/со) находить оригинал, т. е. функцию f (t).

Доказательства справедливости ряда рассмотренных свойств преобразований Фурье не проводятся ввиду того, что аналогичными свойствами обладают и преобразования Лапласа. Эти доказательства можно использовать при рассмотрении свойств преобразований Фурье, заменив р на /со во всех соотношениях. Отметим еще раз, что сказанное справедливо в том случае, если рассматриваемые функции вообще допускают преобразования Фурье.

1. Изменение масштаба функции. Если / (/) имеет своим изобра­ жением F (/со), то af (t) будет иметь своим изображением aF (/со). Математическое выражение этого свойства просто записать, обо­ значив связь между оригиналом и изображением по Фурье подобно тому, как это делалось в операторном исчислении с помощью знака равенства с двумя точками.

Если f (t) = F (/со), то af (t) == aF (/со).

2. Свойство линейности. При преобразованиях Фурье вслед­ ствие их линейности может быть использован принцип наложения, в силу которого изображение суммы функций равно сумме изобра­ жений этих функций. Если

Ы 0 # ^ ( / « ) и М О т ^ О ' ю ) . то /і(0 + М 0 # Л ( / с о ) + Г2(/с<>).

Иными словами, спектральная плотность суммы двух функций равна алгебраической сумме спектральных плотностей каждой из функций в отдельности.

356

3.Теорема подобия. Пусть задана функция времени и известна

ееспектральная плотность / (/) ф F (/со). Спектральная плотность новой функции времени / (kt), где к — постоянная, определится выражением

Следовательно, увеличение продолжительности преобразуемого импульса, как уже отмечалось, вызывает сжатие его спектральной характеристики и уменьшение амплитуд гармонических составля­ ющих спектра. Это равенство подтверждает ранее обнаруженное

\F(jCO)\

С помощью теоремы запаздывания может быть найдена спектраль­ ная плотность - последовательности одинаковых импульсов, если известна спектральная плотность одного импульса. Спектральная плотность последовательности из двух одинаковых импульсов при запаздывании второго импульса на т0 на основании теоремы линей­ ности определяется в виде суммы:

F2 (/со) = F (/со) + F (/со) е - ' т \

359

Спектральная плотность последовательности из п одинаковых импульсов, следующих друг за другом с периодом т0 :

Fn (/со) = F (/со) + F (/со) е - ' м т ° + F (/со) e-'2 f f l T ° + ...

. . . - f J F(/ co ) e - / ( " - 1 ) u , T « .

Сумму членов ряда можно преобразовать с помощью формулы

ти спектры отрезков синусоид и косинусоид по известным спектрам огибающих этих гармонических функций. Так, например, зная спектральную плотность прямоугольного импульса (см. рис. 12,5, г),

\І\У(ѵ+а0)\ {\FJ(0)-ù)o)

можно найти спектральную плотность отрезка косинусоиды. Дей­ ствительно, пусть задана функция / (t) cos со0 t и известно, что спектральная плотность / (f) = F (/со). Преобразуем заданную функ­ цию, записав cos со0 / в показательной форме:

/ (0 cos со„/ = 1 f (t) ем + ! / ( / ) е - /«•'.

Согласно предыдущему спектральная плотность заданной функ­ ции будет иметь вид

360