Документ: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие, страницы 401-405

Т а б л и ц а 13.2

Тип линии

С 0 , ф/км

Условия

С 0 і

сим/км

Однопроводная

Двух

проводная

Коаксиаль ный кабель

Симметрич ный кабель

2,42 • КГ8 е
,	2h	—
lg	- r -
		/ =	0
	/ <	10	кгц
1,21 • 10"8е		сухо

,d - r

l g	г	/ <	10	кгц
			сыро
		/ >	10	/сгц
2,42-	1СГ8е

	/ =	0
	т =	20°
1,21 • 10"8 хе	/ = о
	т^=20°

высокая

частота

—

(1 -f-5) 10-'

25-10-10 (1+5- 10-*/) п

25- Ю-» (4,2+Ю-з/) n

10~8 (1,5 4-3,55) и

CÛC0 tg ô

О о т = ^ ; Ф = 2,46 4-0,3

Gflt + coCo tg ô

юС„ tg ô


	— сопротивление			потерь в смежных проводах и
		в свинцовой		оболочке симметричного				кабеля
	Р-> М-ир —	при / = 2 • 105		гц;
	Р-> М-ир —	магнитные	проницаемости среды			и	материала
		проводов	линии соответственно *;			при		воздуш
		ной изоляции		р = 1;
	е — диэлектрическая проницаемость среды *, при воз
		душной изоляции е = 1 ; для полиэтилена е = 2,3;
	і\|? — поправочный			коэффициент,	характеризующий
		близость проводов к заземленной оболочке и
		другим проводам, зависит от вида скрутки про
		водов симметричного кабеля, г\|з <^ 1;
*	Значения магнитной и диэлектрической постоянных				ц0 и eQ		учтены в чис
ловых	коэффициентах	формул для L„ и С0 ,

386


и — число изоляторов на			1 км длины линии;
ô — эквивалентный угол			диэлектрических			потерь
в изоляции		кабеля,	для	коаксиального		кабеля
tg ô =	10~3 -г- 10~4;
Ф — поправочный		коэффициент,		зависящий	от	темпе
ратуры и от типа изоляции симметричного кабеля.
Числовые значения	.коэффициентов и			функций,	входящих

втабл. 13.1 и 13.2, приводятся в [8].

Втабл. 13.1 не учтена внутренняя индуктивность линии, кото рая предполагается малой по сравнению с внешней индуктивностью.

Формулы R0, приведенные для в. ч., дают хорошую точность,

если г ѴТ> 700•

Формулы однопроводных линий получены в предположении, что поверхность Земли является идеально проводящей плоскостью. Поэтому действительное значение С„ оказывается больше расчет ного примерно на 30%. К расчетной емкости двухпроводной линии

следует добавить 5%				из-за	влияния	изоляторов.
В	табл.	13.2	в строках / = 0			и / >> 10 кгц		указаны		пределы
изменения G0 двухпроводной линии в зависимости от погоды. Пер
вые цифры в скобках относятся к сухой							погоде,	вторые—к сырой.
В воздушных двухпроводных линиях связи и в линиях электро
передачи можно			считать		а"р> r, d — r		w d и	поэтому	упростить
соответствующие			формулы.
Из	табл.	13.1	и	13.2	следует,	что	параметры линии			зависят
от ее	конструкции,			геометрических		размеров, свойств			материалов
проводников, свойств окружающей среды и частоты.
Для кабелей величина					С0 значительно больше, а величина L0

меньше, чем для воздушных линий, так как провода кабеля рас положены друг к другу ближе, чем провода воздушной линии, и диэлектрическая проницаемость изоляции кабеля больше единицы.

В воздушных и кабельных линиях обычно	>	так как	ВеЛИ-
Оо
чина G0 невелика, и, кроме того, величина С0	в кабельных линиях
сравнительно велика.
Заменив первичные параметры однородной линии сосредоточен
ными параметрами, получим схему, приведенную		на рис.	13.2.

Линия разбита на одинаковые отрезки, каждый из которых имеет длину, равную единице. Если выбранная единица длины достаточно мала,то приближенноможносчитать.чтовпределах каждого участка, за исключением его границ, величина тока неизменна. Хотя эта


схема	не может служить для анализа явлений, возникающих в ли
нии,	ибо она состоит из сосредоточенных, а не из распределенных
элементов,		тем не менее на ней можно иллюстрировать основные
особенности		работы линии. На каждом погонном участке линии про
исходит падение напряжения на R0			и L 0 и ответвление тока через
С0 и G„. Поэтому напряжение и ток			изменяются по длине линии.

В приведенной схеме эти изменения происходят скачками: в конце каждого участка напряжение отличается от напряжения в начале

13*

387

участка на величину падения напряжения	на L 0 и R0,	а ток	отли
чается от тока в начале участка на величину тока ответвления			через
С0 и G„. В действительности же изменения	напряжения	и тока	про

исходят не скачкообразно, а непрерывно от одной точки к другой, ибо любой сколь угодно малый отрезок линии обладает элементар ными индуктивностью, емкостью, сопротивлением и проводимостью изоляции. Чем меньше выбранная единица длины, тем ближе к дей ствительному распределение тока и напряжения в приведенной схеме.

Рис. 13.2

Таким образом, в отличие от цепей с сосредоточенными парамет рами, нельзя считать, что ток в линии замыкается от полюса источ ника э. д. с. через прямой провод, нагрузку и обратный провод линии на второй полюс источника. Надо считать, что в каждой точке одного провода линии ток разветвляется, частично замыкаясь на другой провод.

§ 13.2. Дифференциальные уравнения длинной линии

На практике применяется много разновидностей однородных и неоднородных линий. Однако нет надобности рассматривать теорию


		каждого			типа		однород
		ной	линии			в	отдельно
		сти. В		связи с этим рас
		смотрим			эту	задачу			для
		однородной				двухпровод
		ной	линии.			Найденные
		решения			будут		справед
		ливы и для других типов
		однородных				линий.
L0Ax R0âxt	u(x+âx)		На	рис.		13.3,		а изо
Ф)		бражен			короткий			отре
		зок	Ах		двухпроводной
C0ûx		линии,		в	общем			случае
	х+4х	неоднородной,					и	указа
		ны	положительные						на

Рис. 13.3		правления оси					X от		ис-

388

точника к нагрузке, тока і в прямом проводе и напряжения и меж

ду проводами. Предполагается, что		э. д. с. источника, включен
ного в начале линии	(х = 0), является	произвольной функцией вре
мени, что нагрузка	линии включена	в ее конце (х — I) и состоит

из пассивных сосредоточенных элементов и что геометрические размеры линии заданы.

Для изучения физических процессов в линии необходимо знать распределение напряжения и тока по ее длине и во времени.

Рассмотрим две точки с координатами х и х + Ах (рис. 13.3, б), обозначим соответствующие этим точкам напряжения и токи для

любого

фиксированного

момента

времени

через и =

и (х),

и (х +

+

Ах),

і =

/ (х) и і (х +

Ах). Напряжение

и (х +

Ах)

отличается

от

напряжения

и (х), так как на

участке

Ах происходит

падение

напряжения

на

индуктивности

L0 Ax

и

сопротивлении

RQAx.

Поэтому

можно

написать

и (х) —• и (х + Ах) = L0 Ax -^- - f

RaAxi.

Это и последующие уравнения написаны в частных производ

ных, так как ток и напряжение

являются

функциями

переменных

t

и X.

Соответственно изменение тока на участке Ах происходит за счет

ответвления

тока

через

емкость

С0 Ах

и

проводимость

изоляции

G0Ax

между

проводами:

і

(х) — і (х + Ах) = С0Ах ~~ +

G0 Ax«. *

Эти два равенства переписываются следующим образом:

и (х) — и (х + дх)

,

ді

I p .

t (х) — і (х + дх)

r

du

.

г

Гх

~

0

dt

Ах

=

С° ~дГ +

°°и-

Переходя к пределу при Ах -> 0, получаем в соответствии с опре

делением производной

--dx=L«i

+

Ro1'

-

è =

C « W + Go"-

( 1 3 Л )

Знаки в левых частях выражений (13.1) обусловлены выбором

положительных

направлений.

Получены дифференциальные уравнения в частных производ

ных,

поскольку

и

і

являются

функциями

двух

переменных.

Они называются телеграфными уравнениями, так как впервые были получены в теории проводного телеграфа.

Заметим, что уравнения (13.1) являются весьма общими, ибо они справедливы для решения задач стационарного и переходного режимов при любой форме э. д. с. источника, включенного в одно родную или неоднородную линию.

* В правой части этого		выражения следовало бы писать и (х -\- Ах)		вместо
и — и (х). Однако	в этом случае произведения Ах		^ и Ах и (х +	Ах)
дали бы поправку	второго	порядка малости, которой	мы пренебрегаем.

389

§ 13.3. Решение уравнений для стационарного режима синусоидальных колебаний

Рассмотрим стационарный режим для случая, когда э. д. с. имеет синусоидальный характер. Если э. д. с. изменяется с угловой

частотой	СО, то напряжение и ток в каждой точке линии будут изме
няться синусоидально с той же угловой частотой.
Введя	комплексные	действующие		значения *	напряжения и
тока сУ, /	в выражение	(13.1),	получим
	- w =( R o + W ;		• -	~к =	+'mC°)û'

где Ù и / являются функциями только х, поэтому записаны полные производные.

Переход к этим равенствам от (13.1) можно пояснить следу ющим образом. В соответствии с символическим методом

« = Jm(c7e>M0> i = Jm (te/at),

где Jm означает, что берется мнимая часть произведения. Подста вив последние выражения в (13.1), получим

-	А- [Jm (Üe^)}			=	Lo 4t	t J m ( / e	/ W ) ] + R° J		m	( / е / и 0 .
-	- ~ [Jm (!e>*)] =				C0 - J - [Jm (c7e^)] +			G0	Jm	(tfe**).
Имея в	виду коммутативность операции Jm								и	учитывая,	что
Ü и / не зависят от t,			находим
	-	Jm			= J m	(/cöL0 /e^ +			R0ie^),
	-	Jm ( ~	ey m / )		= Jm ЦыС0ие^+			G0ÜeJ™).
Каждое	из	полученных			выражений		можно	рассматривать,			как
равенство	мнимых частей				двух комплексных векторов. Так как
эти векторы вращаются				в	комплексной		плоскости,			равенство	их

мнимых частей при любом значении t возможно лишь при равенстве самих векторов. Поэтому, отбрасывая знак Jm и затем сокращая равенства на е/ Ч о / , получим искомые выражения.

Обозначив	R0 + /coL0 =	Z0 , G0 + /соС0 =	Y0, имеем
где Z0 и У0	— комплексные	сопротивление	и проводимость еди
ницы длины линии соответственно.

* В дальнейшем условимся слова «комплексные действующие значения» напряжения и тока опускать и писать «напряжение и ток», а переход к ампли тудам и мгновенным значениям будем оговаривать.

390

Материал: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Смотрите также: