Материал: Теория линейных электрических цепей учеб. пособие

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Дифференциальные		уравнения	(13.2) справедливы для	линии
любой конфигурации,		независимо от ее назначения *. Далее		будем
считать,	что линия однородна, т. е. Z0 и У0 не зависят от х.
Дифференцируя первое уравнение			(13.2) по х и подставляя в него
	di
значение	-^— из второго, находим

Дифференцируя второе уравнение (13.2) по х и подставляя в него

dû

-^— из первого, имеем

~ - Z Y I = 0. dx* 0 0

Получены однородные обыкновенные дифференциальные урав нения второго порядка с постоянными коэффициентами, одинаковые для напряжения и тока. Для напряжения можем написать

или
	Ù = А&х + ЕсПх,	(13.3)
где	y12 — ±~\/~Z0Y0— корни характеристического	уравнения
У2 -	Z0Y0 = 0:
	Y = Y l = _ Y2 = \| / Z 0 y 0 ,

À и В — постоянные интегрирования, которые должны быть опре делены из граничных условий задачи.

Для получения значения / из первого уравнения (13.2) имеем

І =	1	dû
	Z 0	dx

Дифференцируя равенство (13.3) по х и подставляя в последнее уравнение, находим

/ =	(Ве'Ух-	АеУх).
Вводим обозначение ~ — ~ - .		Тогда
	^ в
1= U e - y * - A Q y x t			(13 4)
		^ в

Для того чтобы внести однозначность в определения 7 и ZB , усло вимся под 7 понимать то значение корня j / Z 0 Y o , которому соответ ствует положительная вещественная часть, т. е. Re (7) ^ 0. В этом

* В неоднородной линии Z0 и Y0 зависят от х, характер этой зависимости

определяется типом линии. Поэтому решение уравнений (13.2) должно быть выполнено отдельно для каждого типа неоднородной линии.

391

случае		аргумент 7 будет	удовлетворять условию
		-	л	^		_ я
			у	s £	arg у =£S -2 .
	Этим же неравенством		однозначно				определяется ZB,	что следует
из	равенства
		7	_ _2о_		ff	о +	/со^-о
Из этого выражения однозначно определяется аргумент								ZB .
=	Подставляя значения Z0 и К0				в	выражения у — \| / Z 0 F 0			и Z„ =
	ZJy,	имеем
		V = V(Ro +	/coLo) (G0 + /соСо) = KWi.						(13.5)
причем в (13.6) следует выбирать корень с положительной									вещест
венной частью. Величины у и ZB					называют вторичными, или волно
выми, параметрами линии, а также параметрами передачи.
	Заметим, что параметр		у в теории линий называется					коэффици
ентом распространения, a ZB				— волновым сопротивлением линии.
Смысл этих терминов будет разъяснен далее.
	Переходим к определению			констант À я В. Предположим, что

граничные условия задачи заданы в виде напряжения и тока в начале линии (рис. 13.4): Ü\x=0 = Üx, І L=o = А- Тогда из (13.3) и

ВА

(13.4) имеем Ux = А + В,		— j		—	7	- .		Из	этих равенств опре-
деляются À и В:
	В= Üi +	I*z» t		А=		Û	I ~ J	I Z B .		(13.7)
Подставляя (13.7) в (13.3)			и (13.4),				получаем
j _	Ol + flZB		g- yx	_	U\~hZg			Qyx		(13.8)
j _	Ol + flZB		g- yx	_	U\~hZg			Qyx
	2.ZR						2ZB
Учитывая, что
еухл_е-ух		,			еУх	— е~Ух		,	Vх>
^	=	ch yx,					2	^ s h	Vх>
записываем (13.8) в гиперболических						функциях:
Ü = Üxch	yx — IXZB	sh yx,			І = Ixch			yx — -7~ sh yx.		(13.9)

Если граничные условия заданы в конце линии (рис. 13.4):

й\х-і = иг, I\x-i = h>

392

то из (13.3) и (13.4) имеем

02 = АеУ1 + В(

^ в

Из этих равенств определяются А и В:

(13.10)

Подставляя (13.10) в (13.3) и (13.4), находим

£/2 -f-/2 ZB ^ ( i - x )	(72 / 2 Z B ( i - x )
2ZB	2ZB

Очевидно, ^ — X является расстоянием от конца линии до рассмат риваемой точки (см. рис. 13.4). Обозначив / — х — у, имеем

	Q _	U2.	(~ ^2^В ^уу _\|_ U2			h^B		g- уу
	i	Uг -\~ h ? - B руу __ t72— / 2 Z B								(13.11)
	i	Uг -\~ h ? - B руу __ t72— / 2 Z B
			2ZR	е	2Z„		е	•
Введя	гиперболические			функции,		получим
<7 = t72 ch7i/ +			/2 ZB shYy,		/ = / 2		ch	+	sh уг/.	(13.12)
									^•в
Таким	образом,	в	качестве решений				телеграфных уравнений
для стационарного		режима		синусоидальных					колебаний	найдено
	X				У
	х=0								1
У									*Ц'0
				Рис.	13.4

пять пар выражений напряжения и тока, а именно (13.3) и (13.4), (13.8), (13.9), (13.11), (13.12). В дальнейшем для выяснения физи ческой картины процессов, происходящих в линиях при различных условиях и режимах работы, будем пользоваться той парой выраже ний, которую удобно применить в данном случае.

393

Для полного решения задачи о распределении напряжения и тока вдоль линии необходимо добавить уравнения, выражающие закон Ома применительно к началу и концу линии (см. рис. 13.4):

/1 = -^1-, L = %-. (13.13)

где Ё — э. д. с. в начале линии;

Zx — сопротивление в начале линии, в которое входит и внут

реннее сопротивление	генератора;
Z2 — сопротивление нагрузки	линии.

Полученные формулы являются общими для всех технических разновидностей однородных линий и применяются для расчетов в самых различных отраслях электротехники и связи.

Г л а в а ч е т ы р н а д ц а т а я ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ

§ 14.1.	Основные	уравнения
Рассмотрим линию, в	которой	отсутствуют	распределенные
активные сопротивление	и проводимость, т. е.		/?0 = О, G0 = 0.

Такую линию будем называть идеальной или линией без потерь. Хотя линии без потерь практически нереальны, их рассмотрение представляет большой интерес. В ряде случаев при высокой частоте величины R0 и G0 оказываются очень малыми по сравнению с реактив ными погонным сопротивлением coL0 и проводимостью соС0 и ими можно пренебречь, что чрезвычайно упрощает использование резуль

татов,	полученных в гл. X I I I , и в то же время обеспечивает доста
точную	точность решения ряда	практических задач, связанных
с распределением напряжения и тока.
Для	идеальной линии выражения (13.5) и (13.6) упрощаются:
	Y==/Ö>1/LOC0 ,	ZB =	y^,

т. е. коэффициент распространения становится мнимым, волновое сопротивление — вещественным. В соответствии с принятыми для этого случая обозначениями

Y = 7'ß.

2 в

= р,

р — модуль

коэффициента

распространения

и волновое

сопротивление линии

без

потерь,

определяются равенствами:

ß = wyT! A,

(14.1)

(14.2)

Величины

ß и

являются

вторичными

параметрами

линии

без

потерь.

Уравнения

для

напряжения

тока,

полученные

в § 13.3,

для

идеальной линии принимают

вид:

= &r>P*-Me#*

/ = A e - / ß * _ A e / ß *

(14.3)

Ü = Ü1cos$x

— / / i p s i n ß * ,

/ =

/ i c o s ß A r

— / —

s i n ß x ,

(14.4)

(14.5)

Uj +

j(,y

t72

—4p

c/ = t72 cosßy +

y72 psinßz/,

/ =

/2 cosß«/ + / - ^ - sinßi/ .

(14.6)

395

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/125945

Смотрите также:








Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Изложение содержания дела, по которому приняты судебные постановления
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»